华师版九年级数学下册教案全套
第26章 二次函数 26．1 二次函数
认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式．
重点
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围． 难点
熟练地列出二次函数关系式．
一、创设情境，引入新课
(1)正方形边长为a(cm)，它的面积s(cm2)是多少？
(2)已知正方体的棱长为x cm，表面积为y cm2，则y与x的关系是________．
(3)矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．
请观察上面列出的三个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？ 二、探究问题，形成概念
1．请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函数下个定义． 2．归纳：二次函数的概念．
3．结合“情境”中的三个二次函数的关系式，给出常数a，b，c的取值范围． 4．结合“情境”中的三个二次函数的关系式，说说它们的自变量的取值范围．
例1 m取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数？ 分析：若函数是二次函数，须满足的条件是：m2－m≠0.
解：若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则m2－m≠0，解得m≠0，且m≠1.因此，当m≠0，且m≠1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数．
探索：若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？ 例2 写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数．
(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系式； (2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式；
(3)某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系式；
(4)菱形的两条对角线的和为26 cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系式． 学生通过实际问题的分析，列出关系式，并观察、利用类比的思想总结出二次函数的概念．
归纳结论：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．
三、练习巩固
1．下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y＝x2＝0；
(2)y＝(x＋2)(x－2)－(x－1)2； 1
(3)y＝x2＋；
x
(4)y＝x2＋2x－3.
2．当k为何值时，函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为二次函数？
3．已知正方形的面积为y(cm2)，周长为x(cm)．
(1)请写出y与x的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数．
4．正方形铁片边长为15 cm，在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3 cm时，求盒子的表面积．
四、小结与作业 小结
1．叙述二次函数的定义．
2．二次函数定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫做常数项．
作业
1．布置作业：教材“习题26.1”中第1，2，4 题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数．通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好！
26．2 二次函数的图象与性质 1． 二次函数y＝ax2的图象与性质
1．能够利用描点法作出y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
2．能作出二次函数y＝－x2的图象，并能够比较与y＝x2的图象的异同，初步建立二次函数关系式与图象之间的联系．
重点
会画y＝ax2的图象，理解其性质．
难点
结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来．
一、创设情境，引入新课
导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义和图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？ 导语二 展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？ 导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？
二、探究问题，形成概念
1．函数y＝ax2 的图象画法及相关名称
【探究1】画y＝x2的图象
学生动手实践、尝试画y＝x2的图象
教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线
教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y＝x2的图象，如图1. 【共同探究】该二次函数图像有何特征？特征如下： ①形状是开口向上的抛物线；
②图象关于y轴对称； ③有最低点，没有最高点．
结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向．
2．函数y＝ax的图象特征及其性质
1
【探究2】在同一坐标系中，画出y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象．
2
学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出两函数的图象．如图2.
比较图中三个抛物线的异同．
相同点：①顶点相同，其坐标都为(0，0)； ②对称轴相同，都为y轴；
③开口方向相同，它们的开口方向都向上．
不同点：开口大小不同．
1
【练一练】画出函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象．(分析：仿照探究2的实施过程)
21
比较函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象．找出它们的异同点．
2相同点：①形状都是抛物线； ②顶点相同，其坐标都为(0，0)； ③对称轴相同，都为y轴；
④开口方向相同，它们的开口方向都向下．
不同点：开口大小不同． 【归纳】y＝ax2的图象特征：
(1)二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线；
(2)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点．当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；
(3)|a|越大，抛物线y＝ax2的开口越小．
三、练习巩固
1．已知函数y＝(m－2)xm2－7是二次函数，且开口向下，则m＝________. 2．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．
(1)求此抛物线的函数关系式；
(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上．
3．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大． (1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴．
4．已知正方形周长为C (cm)，面积为S (cm2)． (1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象； (2)根据图象，求出S＝1 cm2时，正方形的周长； (3)根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2. 四、小结与作业
2
小结
1．抛物线y＝ax2 (a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点．
2．当a＞0时，抛物线y＝ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小． 3．当a＜0时，抛物线y＝ax2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大． 作业
1．布置作业：教材P7“练习”中第1，2，3题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”的理念，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣．教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识．整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣．
2． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
1．使学生能利用描点法正确作出函数y＝x2＋2与y＝x2－2的图象． 2．理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系．
重点
理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系． 难点
理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系．
一、创设情境，引入新课
同学们还记得一次函数y＝2x与y＝2x＋1的图象的关系吗？____________________. 你能由此推测二次函数y＝x2与y＝x2＋1的图象之间的关系吗？____________________. 那么y＝ax2与y＝ax2＋c的图象之间又有何关系？
________________________________________________________________________. 二、探究问题，形成概念
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋2的图象． 解 列表
x y＝2x2 … … －3 18 －2 8 －1 2 0 0 1 2 4 2 8 10 3 18 20 … … … 20 10 4 2 y＝2x2＋2 … 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图1所示．
当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索：观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y＝2x2与y＝2x2－2的图象之间的关系吗？
例2 在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2＋1与y＝－x2－1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2＋1得到抛物线y＝－x2－1.
解 列表 x y＝－x2＋1 … … －3 －8 －2 －3 －1 0 0 1 1 0 －2 2 －3 －5 3 －8 －10 … … … y＝－x2－1 … －10 －5 －2 －1 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2所示．
可以看出，抛物线y＝－x2－1是由抛物线y＝－x2＋1向下平移两个单位得到的．
抛物线y＝－x2＋1和抛物线y＝－x2－1分别是由抛物线y＝－x2向上、向下平移一个单位得到的． 探索：如果要得到抛物线y＝－x2＋4，应将抛物线y＝－x2－1作怎样的平移？
1
例3 一条抛物线的开口方向、对称轴与y＝x2相同，顶点纵坐标是－2，且抛物线经过点(1，1)，
2求这条抛物线的函数关系式．
解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，－2)， 因此所求函数关系式可看作y＝ax2－2(a＞0)，又抛物线经过点(1，1)， 所以1＝a×12－2，解得a＝3.
故所求函数关系式为y＝3x2－2.
回顾与反思 y＝ax2＋c(a，c是常数，a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：
y＝ax2＋c a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 三、练习巩固
1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 111
y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2. 222
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线1
y＝x2＋c的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2
1
2．抛物线y＝x2－9的开口____________，对称轴是____________，顶点坐标是____________，
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它可以看作是由抛物线y＝x2向____________平移____________个单位得到的．
4
3．函数y＝－3x2＋3，当x________时，函数值y随x的增大而减小．当x________时，函数取得