重点
会通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值． 难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
一、创设情境，引入新课
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如
问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少元时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数y＝－10x2＋100x＋2000.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗？
二、探究问题，形成概念 例1 求下列函数的最大值或最小值． (1)y＝2x2－3x－5； (2)y＝－x2－3x＋4.
分析 由于函数y＝2x2－3x－5和y＝－x2－3x＋4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解 (1)二次函数y＝2x2－3x－5中的二次项系数2＞0， 因此抛物线y＝2x2－3x－5有最低点，即函数有最小值．
349349
因为y＝2x2－3x－5＝2(x－)2－，所以当x＝时，函数y＝2x2－3x－5有最小值是－.
4848(2)二次函数y＝－x2－3x＋4中的二次项系数－1＜0，因此抛物线有最高点，即函数有最大值． 325325
因为y＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋，所以当x＝－时，函数y＝－x2－3x＋4有最大值是.
2424回顾与反思：最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第
二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
探索：试一试，当2.5≤x≤3.5时，求二次函数y＝x2－2x－3的最大值或最小值．
例2 某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售单价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表：
x(元) 130 150 165 70 50 35 y(件) 若日销售量y是销售单价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售单价定为多少元？此时每日最大销售利润是多少元？
分析 日销售利润＝日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x＋y＝200，因此，所求的一次函数的关系式为y＝－x＋200.
设每日销售利润为s元，则有s＝y(x－120)＝－(x－160)2＋1600，因为－x＋200≥0，x－120≥0，所以120≤x≤200.
所以，当每件产品的销售单价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．
三、练习巩固
1．求下列函数的最大值或最小值．
(1)y＝－x2－2x；
(2)y＝2x2－2x＋1.
2．已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值为1，求m的值．
3．不论自变量x取什么数，二次函数y＝2x2－6x＋m的函数值总是正值，求m的取值范围． 4．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：
2
y＝－0.1x＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分时，学生的接受能力最强？
5．如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
四、小结与作业 小结
让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：
(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
(2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数；
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； (5)解决提出的实际问题． 作业
1．布置作业：教材P20“练习”中第2，3题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课主要是通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题．使学生明白数学来源于生活，适用于生活．提高学生学习兴趣．
3． 求二次函数的表达式
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．
重点
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2，y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点．
难点
已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点．
一、创设情境，引入新课
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系式时，通常需要两个独立的条件；确定反比例函k
数y＝(k≠0)的关系式时，通常只需要一个条件；如果要确定二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的关系式，
x又需要几个条件呢？
二、思考探究，获取新知
例1 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y＝ax2(a＜0)．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．
解 由题意，得点B的坐标为(0.8，－2.4)，
15
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入y＝ax2(a＜0)，得－2.4＝a×0.82，所以a＝－.因此，函
415
数关系式是y＝－x2.
4
例2 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
(1)已知二次函数的图象经过点A(0，－1)，B(1，0)，C(－1，2)； (2)已知抛物线的顶点为(1，－3)，且与y轴交于点(0，1)；
(3)已知抛物线与x轴交于点(－3，0)，(5，0)，且与y轴交于点(0，－3)； (4)已知抛物线的顶点为(3，－2)，且与x轴两交点间的距离为4.
分析 (1)根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c的形式；(2)根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y＝a(x－1)2－3，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(3)根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为y＝a(x＋3)(x－5)，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3，－2)，可设函数关系式为y＝a(x－3)2－2，同时可知抛物线的对称轴为直线x＝3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为(1，0)和(5，0)，任选一个代入y＝a(x－3)2－2，即可求出a的值．
解 (1)设二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个函数的图象过(0，－1)，可以得到c＝－
?a＋b＝1，
1.又由于其图象过点(1，0)，(－1，2)两点，可以得到?解这个方程组，得a＝2，b＝ －1.所以，
a－b＝3，?
所求二次函数的关系式是y＝2x2－x－1.
(2)因为抛物线的顶点为(1，－3)，所以设二次函数的关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到1＝a(0－1)2－3，解得a＝4.所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3＝4x2－8x＋1.
(3)因为抛物线与x轴交于点(－3，0)，(5，0)，所以设二次函数的关系式为y＝a(x＋3)(x－5)，又由1
于抛物线与y轴交于点(0，－3)，可以得到－3＝a(0＋3)(0－5)．解得a＝.所以，所求二次函数的关系
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式是y＝(x＋3)(x－5)＝x2－x－3.
555
(4)根据前面的分析，本题已转化为与(2)相同的题型，请同学们自己完成． 回顾与反思：确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点时可利用此式来求．
三、练习巩固
1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，12)，B(2，－3)．
(1)求该二次函数的关系式；
(2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
2．已知二次函数的图象与一次函数y＝4x－8的图象有两个公共点P(2，m)，Q(n，－8)，如果抛物线的对称轴是直线x＝－1，求该二次函数的关系式．
3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高度为4.4 m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．
5．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1，0)与(2，5)两点．
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y＝x2＋bx＋c关系式的题目，使所求得的二次函数与(1)的相同．
四、小结与作业 小结
求二次函数关系式的一般步骤是什么？有哪几种求法？ 作业
1．布置作业：教材“习题26.2”中第4，5题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．
确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．
26．3 实践与探索 第1课时 二次函数与实际问题
会通过对现实情境的分析，确定二次函数的关系式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．
重点
确定二次函数的关系式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．
难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求生活中的实际问题．
一、创设情境，引入新课
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？
二、探究问题，形成概念
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例1 如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－x2＋x
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＋，问此运动员把铅球推出多远？ 3
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解 如图，铅球落在x轴上，则y＝0，因此，－x2＋x＋＝0，解方程，得x1＝10，x2＝－2(不
1233合题意，舍去)．所以，此运动员把铅球推出了10米．
探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个5
运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10 m，铅球运
3行中最高点离地面3 m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．
例2 如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA高1.25 m，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到距水面最大高度2.25 m.
(1)若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5 m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？(精确到0.1 m)
分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
解：(1)以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落下与x轴交点为C(如图)． 由题意得，A(0，1.25)，B(1，2.25)，因此，设抛物线为y＝a(x－1)2＋2.25.将A(0，1.25)代入上式，