[必修1]集合与函数
1．集合的定义
一般地，我们把研究的对象统称为“元素”，那么把一些元素组成的总体叫“集合”，简称为“集”。 2.集合中元素的特性
确定性：给定的集合，它的元素必须是明确的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，两者必居其一，不可能同时存在。记作
。
若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；若a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA。
互异性：一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现。 无序性：一个给定集合的元素之间是没有顺序的。 实例：
下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ） A. 学校篮球水平较高的学生 B. 校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D. 中国经济发达的城市
分析：把一些确定的元素组成的整体称为集合。集合的元素具有“确定性、互异性、无序性”，本题根据集合元素的“确定性”进行判断。 解答：集合的元素具有“确定性”，
选项A，多高的篮球水平才算水平较高？不确定，因此选项A不构成集合； 选项B，多高的树木才算高大？不确定，因此选项B不构成集合；
选项D，经济水平在什么标准才算发达？不确定，因此选项D不构成集合； 选项C，2007年所有的欧盟国家，元素是具体的，满足“确定性、互异性、无序性”，因此选项C可以组成一个集合。故选C。 3.元素与集合之间的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作的元素，就说a不属于集合A，记作详解：
.
；如果a不属于集合A
我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小写拉丁字母a,b,c…表示集合中的元素.
元素与集合之间的关系只能用和来表示，即任意一个元素，要么属于（）集合，要么不属于（）集合，元素与集合之间只有这两种关系。 4.数学中一些常用数集及其记法 数学中常见的数集有：
（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； （4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； （5）全体实数组成的集合称为是实数集，记作R. 详解：
非负整数集与正整数集就相差一个元素 “0”记忆口诀： N自然，N＊单缺0，Z为整，Q有理，R实。
5.集合的表示方法 集合的表示方法有：
集合的表示有六种方法：字母表示法、自然语言法、列举法、描述法、图象法、Venn图法。 详解：
⑴字母表示法：用大写的拉丁字母A，B，C，…表示集合，例如集合A，B，E等。
⑵自然语言法：用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形”组成的集合等。 ⑶列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合，例如{1，4，8，a，d}。
⑷描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。在不致混淆的情况下，也可以去掉竖线和元素代表符号，例如所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角
或
；
三角形}，也可以写成{直角三角形}。
⑸图象法：用数轴、函数图象、方程的曲线等表示集合。 ⑹Venn图法：用圆、椭圆、矩形等平面图形表示集合。 6.包含关系
Ⅰ、包含关系：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都属于集合B；或集合A中任意一个元素都属于集合B，而集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称这两个集合A、B具有包含关系，记作A
B或AB。
Ⅱ、子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集，记作A
B（或B
A）。
Ⅲ、真子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都属于集合B，而集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集，记作AB（或B
A）。
7.不包含关系
对于两个集合A，B，如果集合A中至少有一个元素不属于集合B，且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，则称这两个集合A、B是互不包含关系，记作AB，BA。
8.集合相等
对于两个集合A，B，如果集合A中的元素都属于集合B，且集合B中的元素也都属于集合A，即A?B，B?A，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，则称这两个集合A与B相等，记作A=B。
8.集合相等
对于两个集合A，B，如果集合A中的元素都属于集合B，且集合B中的元素也都属于集合A，即A?B，B?A，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，则称这两个集合A与B相等，记作A=B。
10.判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤 ①明确集合A、B中的元素;
②分析集合A、B中的元素之间的关系;
③按子集、真子集、不包含、相等的定义做出判断。
11.子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数 （1）常用数集之间的包含关系：Ф（2）子集的个数：若一个有限集有个真子集，详解：
个非空真子集。
NZQR； 个元素，则它共有
个子集，
n元集的全部子集个数为个，真子集为个（即扣除集合本身）
空集是任何集合的子集，且空集是任何非空集合的真子集。 11.子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数 （1）常用数集之间的包含关系：Ф（2）子集的个数：若一个有限集有个真子集，
个非空真子集。
个，真子集为
个（即扣除集合本身）
NZQR； 个元素，则它共有
个子集，
详解：n元集的全部子集个数为
空集是任何集合的子集，且空集是任何非空集合的真子集。 13.交集及运算性质
交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”），即用Venn图表示为：
运算性质：
;
；
；
；
14.全集与补集及运算性质
全集：一般地，如果一个集合含有我们研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U.
补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作
.
用Venn图表示为：
，即