奇函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相同； 偶函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相反。 Ⅱ、奇偶性与运算的关系：
设f(x),g(x)的定义域分别是D1 ,D2 ，那么在它们的公共定义域上奇偶性为： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇。 Ⅲ、奇偶性与复合函数的关系：
已知函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的， 若u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，则y=f[g(x)]是奇函数；
若u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，则y= f[g(x)]是偶函数。 详解：
(1)若函数f(x)为奇函数，且定义域中x可以等于零，则
.
(2)函数f(x)与kf(x)、(f(x)≠0)的奇偶性相同（其中k为非零常数）。
(3)若一个奇函数有反函数，则它的反函数必是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。
(4)存在既是奇函数又是偶函数的函数：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个。例如
。
，
；
，
就是两个既奇又偶的函数，因为它们的定义域不同
18.函数奇偶性的几何特征
①定义域关于原点对称是函数奇偶性的必要条件。 ②奇函数的图象关于原点成中心对称。
③偶函数的图象关于y轴对称。
推广：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有的图象关于点
，则f(x)
对称；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，则f(x)的图象关于直线
对称。
19.函数奇偶性的判定方法
奇偶性的判断方法有图象法，定义法，运算法和复合法。证明函数奇偶性一定要用定义法。 ①图象法：
若函数图象关于原点成中心对称，则其函数是奇函数；若函数图象关于y轴对称，则其函数是偶函数。 ②定义法：
Ⅰ、定义域是否关于原点对称，若不是，则是非奇非偶函数；若是，还要看Ⅱ。
Ⅱ、若奇函数；
，或，或（若f(x)≠0），则是
若
③运算法：
，或，或（若f(x)≠0），则是偶函数。
设f(x),g(x)的定义域分别是D1 ,D2 ，那么在它们的公共定义域上奇偶性： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇。 ④复合法：
已知函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的， 若u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，则y=f[g(x)]是奇函数；
若u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，则y= f[g(x)]是偶函数。
04一次、二次函数 详解：
1. 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称（即x与-x均在其定义域内）
2. 判断函数奇偶性最常用的方法：
f(x)是奇函数f(x)是偶函数
20.函数奇偶性的应用
①判断函数的奇偶性：按判定方法操作，一般先用图象法，也可以用定义法，或运算法、复合法，因题而异。
②证明函数的奇偶性：一定要用定义法证明。 ③利用函数的奇偶性求函数解析式：
已知定义域一边对称区间上的函数解析式，利用函数的奇偶性可求得另一边对称区间上的函数解析式，进而求得整个函数解析式。即
已知定义在R上奇函数，若当x∈(-∞,0]时，函数解析式为y=f(x)，则R上的函数解析式为
； .
。
已知定义在R上偶函数，若当x∈(-∞,0]时，函数解析式为y=f(x)，则R上的函数解析式为
。
④求值域与最值： ⑴求值域：
Ⅰ、已知定义域一边对称区间上的函数值范围，利用函数的奇偶性可求得另一边对称区间上的函数值范围，进而求得整个定义域上的函数值范围，即求得整个函数的值域。
Ⅱ、已知定义在R上奇函数，若当x∈(-∞,0]时，函数值的范围为[a,b]，则当x∈[0,+∞）时，函数值的范围为[-b,-a]，所以在R上的函数值域为[-b,-a]∪[a,b]。
Ⅲ、已知定义在R上偶函数，若当x∈(-∞,0]时，函数值的范围为[a,b]，则当x∈[0,+∞）时，函数值的范围为[a,b]，所以在R上的函数值域为[a,b]。
⑵求最值：同理
已知定义域一边对称区间上的函数值范围，利用函数的奇偶性可求得另一边对称区间上的函数值范围，进而求得整个定义域上的函数值范围，即可求得整个函数的最值。
已知定义在R上奇函数，若当x∈(-∞,0]时，函数的最大（小）值A,当x∈[0,+∞）时，函数的最小（大）值为-A，所以在R上的函数的最小（大）值为-A, 最大（小）值A。 已知定义在R上偶函数，若当x∈(-∞,0]时，函数的最大值A，最小值B，则当x∈[0,+∞）时，函数的最大值也是A，最小值也是B，所以在R上的函数的最大值为A, 最小值为B。
21.利用函数性质画图象--重要步骤
①控制范围：求函数的定义域、值域，利用函数的定义域、值域确定函数图象的横纵范围。
②控制局部：判断函数的奇偶性、周期性、对称性，利用之画函数的局部图象，由局部转化到全局。
③控制趋势：判断函数的单调增减区间，利用之把握函数的局部增减变化趋势。 ④控制特殊点：描画函数图象的极值点、最值点、横纵截距点、对称点等特殊点，控制函数图象的特殊位置。 实例： 例如，画函数
的图象。
①控制范围：函数的定义域为R，是有界函数，值域为的横纵范围。
，从而确定了图象
②控制局部：是周期函数，周期T=周期的函数局部图象，然后依周期T=
，于是先画函数在区间，由局部转化到全局。
内一个
③控制趋势：是单调函数，在一个周期的区间上，是增函数
区间，是减函数区间，从而把握了函数的增减变化趋势。
④控制特殊点：当或时，函数的极小值是，当时，函数的
极大值是2，纵截距是1，从而控制了函数图象的特殊位置。
22.函数图象的作法
（1）描点法：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值和最小值、与坐标轴的交点）→描点→连线。
（2）图象变换法：通过基本函数图象的翻折、平移、伸缩等变换作出相应函数图象。 详解：
1.函数图象的基本变换： (1)平移变换： ①
(2)伸缩变换：
②
；
①
；
(3)对称变换： ①②③
②
④若称⑤⑥
（a, b为常数），则
；
的图象关于直线对