个具体的问题，我们应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系。 3.函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法。
11.解析法表示分类
①一般法：函数解析式表示的一般法是指函数是由一个解析式构成的。例如 函
数y=x2 -4x+6, x∈［1,5)；②分段法：
；…
函数解析式表示的分段法是指函数由多个解析式构成的，称之为分段函数。 一般地，分段函数表示为：
③复合法：
已知函数y=f(x)（x∈A），若x=g(t)（g(t)∈B），则函数f(g(t))是t的函数，称之为t的复合函数。复合函数的定义域满足
。
对于函数f(x)，当x等于某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替，其结果产生了新的函数，称之谓复合函数。
03函数的基本性质 1.增减函数定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 、x2 ：
如果当x1 ＜x2 时，都有f(x1 )＜f(x2 )，那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数；
如果当x1 ＜x2 时，都有f(x1 )＞f(x2 )，那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数
在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数
的单调区间。
在这一
区间具有（严格的）单调性，区间D叫做
2.函数单调性的内涵与外延
⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的，是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知：任意的x1 、x2 ∈D， ① x1 ＜x2 ，且f(x1 )＜f(x2 )，增减性）
② y=f(x)在区间D上是增函数，且x1 ＜x2 ，
f(x1 )＜f(x2 )；（可用于比较函数值的大小）
x1 ＜x2 。（可用于比较自变量值的大
y=f(x)在区间D上是增函数；（可用于判断或证明函数的
③ y=f(x)在区间D上是增函数，且f(x1 )＜f(x2 )，小）
3.有关函数单调性的定理
（1）单调函数必有反函数，且反函数与原函数有相同的单调性； （2）f(x)与f(x)+c(c为常数）具有相同的单调性；
（3）k＞0，函数f(x)与kf(x)有相同的单调性；k＜0，函数f(x)与kf(x)的单调性相反；
（4）当f(x)恒不为0时，函数f(x)与（5）当f(x)非负时，f(x)与
的单调性相反；
具有相同的单调性；
为增（减）函数；
是增
（6）当f(x)、g(x)同时为增（减）函数时，
（7）设f(x)、g(x)都是增（减）函数，则f(x)、g(x)当两者都恒大于0时，（减）函数，当两者都恒小于0时，
是减（增）函数；
（8）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；
4.最大值和最小值
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 1 对于任意的2 存在
,都有
；
，那么我们称M是函数y=f(x)的最大值。
，使得
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： ⑴对于任意的⑵存在详解：
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值，因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因为答题的方式就有所差异。 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的作用，特别是要重视实际问题最值的求法。
5.函数单调性证明方法
证明函数单调性的方法有：定义法（即比较法）；导数法。
实际上，用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法，定义法是基本方法，常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
（1）定义法：利用增减函数的定义证明。在证明过程中，把数式的大小比较转化为求差比较（或求商比较）。
,都有；
，那么我们称m是函数y=f(x)的最小值。
，使得
⑴转化为求差比较证明程序：
①设任意的x1 、x2 ∈D，使x1 ＜x2 ；
②求差—变形—判断正负；此为关键步骤，变形大多要“因式分解”。 求差：
③下明确结论。
⑵转化为求商比较证明程序：
； 变形：化简、因式分解； 判断：
的符号正或负。
①设任意的x1 、x2 ∈D，使x1 ＜x2 （若0＜x1 ＜x2 ，则；若x1 ＜x2 ＜0，则
）；
②求商—变形—判断小于或大于1；此为关键步骤，变形要注意“因式分解”。
求商：； 变形：化简、因式分解； 判断：小于或大于1。
③下明确结论，要注意商的分母的正负，即
若
若。
（2）导数法：利用函数单调性与可导函数的正负性关系证明。 设可导函数
在定义域的某个区间（a,b）内，如果
，那么函数f(x)在这个区
间内单调递增；如果
求导证明函数单调性的程序： ①求函数②把
的导数
，那么函数f(x)在这个区间内单调递减。
；
变形，化简，因式分解，判断正负；
③下明确结论。
7.判断函数单调性的一些常用的结论
①奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③单调函数必有反函数（现教材没此概念），且单调性一致；
④函数
上是递减。
是奇函数，在和上递增；在和
8.函数单调性判断方法--图象法
画函数y=f(x)的图象，看在某区间D上，y的值随x值的增大而增大还是减少，从而做出函数单调性的判断。
9.函数单调性判断方法--定义法
利用增减函数的定义判断。在判断过程中，把数式的大小比较转化为求差比较（或求商比较）。
⑴转化为求差比较判断程序：
①设任意的x1 、x2 ∈D，使x1 ＜x2 ；
②求差—变形—判断正负；此为关键步骤，变形多要“因式分解”。 求差：负。
③下明确结论。
⑵转化为求商比较判断程序：
；变形：化简、因式分解；判断：
的符号正或
①设任意的x1 、x2 ∈D，使x1 ＜x2 （若0＜x1 ＜x2 ，则；若x1 ＜x2 ＜
0，则）；
②求商—变形—判断小于或大于1；此为关键步骤，变形要注意“因式分解”。
求商：； 变形：化简、因式分解； 判断：小于或大于1。
③下明确结论，要注意商的分母的正负，即
若
若。