实例： 例：已知函数求证：f(x)在证明：设
（a＞0，x＞0）， 上是单调递增函数； ，则
，
.
∵∴
=，∴f(x)在
=<0
上是单调递增的。
10.函数单调性判断方法--复合法
复合函数y=f(g(x))在某区间D上的单调性，取决于函数y=f(U)与函数U=g(x)在其相应区间上的单调性，可归纳为：
即奇个“减”为减；偶个“减”为增。 复合法判断程序:
①把复合函数分解已知其单调性的基本函数g(x)和f(U)； ②判断函数g(x)和f(U)在各自相应区间上的单调性； ③合成（奇个“减”为减；偶个“减”为增），下结论。 11.函数单调性判断方法--运算法 函数f(x)、g(x)在公共定义域内: 增函数减函数增函数减函数
增函数减函数减函数增函数
是增函数； 是减函数； 是增函数； 是减函数。
12.函数单调性判断方法--导数法
利用函数单调性与可导函数的正负性关系判断。 设可导函数
在定义域的某个区间（a,b）内，如果
，那么函数f(x)在这个区
间内单调递增；如果
求导判断函数单调性的程序： ①求函数②把
的导数
，那么函数f(x)在这个区间内单调递减。
；
变形，化简，因式分解，判断正负；
③下明确结论。 13.函数单调性的应用一 （1）判断证明函数单调性:
按函数单调性的“判断方法”或“证明方法”的程序进行。 （2）比较大小; ①比较函数值大小：
若函数y=f(x)在区间D上是递增函数，且x1 ＜x2 ，若函数y=f(x)在区间D上是递减函数，且x1 ＜x2 ，②比较自变量值大小：
若函数y=f(x)在区间D上是递增函数，且f(x1 )＜f(x2 )，若函数y=f(x)在区间D上是递减函数，且f(x1 )＜f(x2 )，（3）解方程与不等式
若函数y=f(x)在R上是递增函数，f(g(x))≤f(q(x))，若函数y=f(x)在R上是递减函数，f(g(x))≤f(q(x))，14.函数单调性的应用——求值域
若函数y=f(x)在定义域（a,b）上递增，则函数值域为（f(a)，f(b)）; 若函数y=f(x)在定义域（a,b）上递减，则函数值域为（f(b)，f(a)）。 若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递增，则函数值域为 [f(a)，f(b)] ;
g(x)≤q(x); g(x)≥q(x)。
x1 ＜x2 ； x1 ＞x2 。 f(x1 )＜f(x2 ); f(x1 )＞f(x2 )。
若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递减，则函数值域为 [f(b)，f(a)]。
15.函数单调性的应用——求极值 Ⅰ、极值定义：
⑴极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0 )，就说f(x0 )是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值 =f(x0 )，x0 是极大值点。 ⑵极小值：一般地，设函数f(x)在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0 )，就说f(x0 )是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值 =f(x0 )，x0 是极小值点。 ⑶极值：极大值与极小值统称为极值。
Ⅱ、方法1：
若函数y=f(x)在（a,b）上递增，在（b,c）上递减，且f(b)存在，则f(b)是函数y=f(x)的极大值，点b是函数y=f(x)的极大点；
若函数y=f(x)在（a,b）上递减，在（b,c）上递增，且f(b)存在，则f(b)是函数y=f(x)的极小值，点b是函数y=f(x)的极小点。 Ⅲ、方法2：
若函数y=f(x)在（a,b）内
，在（b,c）内
，且f(b)存在，则f(b)是函数y=f(x)
的极大值，点b是函数y=f(x)的极大点； 若函数y=f(x)在（a,b）内
，在（b,c）内
，且f(b)存在，则f(b)是函数y=f(x)
的极小值，点b是函数y=f(x)的极小点。
16.函数单调性的应用——求最值
Ⅰ、最值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ⑴对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ⑵存在xo ∈I，使得f(xo )=M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ⑴对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； ⑵存在xo ∈I，使得f(xo )=M. 那么，称M是函数y=f(x)的最小值。
Ⅱ、方法1：
若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递增，则函数的最大值为f(b)，最小值为f(a) ;
若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递减，则函数的最大值为f(a)，最小值为f(b)。
Ⅲ、方法2：
若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上连续，则 ①求函数y=f(x)在（a,b）内的极值； ②求函数在端点的函数值f(a)，f(b)；
③将函数y=f(x)的个极值与端点函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一
个为最小值。
如图，定义在[a,b]上的连续函数y=f(x)，求得极值为f(x1 )、f(x2 )，求得定义域端点的函数值为f(a)、f(b)，则函数的最大值与最小值分别为
。
17.函数奇偶性定义 ①严格定义：
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 ②定义内涵：
Ⅰ、在定义域内既存在x，又存在成了函数奇偶性的必要条件。
，所以其定义域必须关于原点对称。这构
Ⅱ、奇函数：f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0，或 （若f(x)≠0）。
偶函数：f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0，或 （若f(x)≠0）。
Ⅲ、已知函数f(x)是奇函数，若f(0)有定义，则f(0)=0；偶函数则不一定，若f(x)是偶函数，则f(x)= f(-x)ó f(x)=f(|x|)。 ③定义外延：
Ⅰ、奇偶性与单调性的关系：