∴△EMN的周长=EN+MN+EM=++=；
解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R， ∵AC平分∠DAB， ∴GK=GR，
∴====2，
∵==2，
∴同理，
，
=
=3，
其它解法同解法一，
可得：∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
+
+
=
；
解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD， ∵AC是对角线， ∴EP=EQ，
易证△DQE和△FPE全等， ∴DE=EF，DQ=FP，且AP=EP， 设EP=x，则DQ=4﹣x=FP=x﹣2， 解得x=3，所以PF=1， ∴AE=∵DC∥AB， ∴△DGC∽△FGA， ∴同解法一得：CG=×∴EG=AG=AC=
=3，
=，
﹣=，
，
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过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD， 则易证△GHF≌△FKM全等， ∴GH=FK=，HF=MK=， ∵ML=AK=AF+FK=2+=即DL=LM， ∴∠LDM=45°
∴DM在正方形对角线DB上， 过N作NI⊥AB，则NI=IB， 设NI=y， ∵NI∥EP ∴∴
，DL=AD﹣MK=4﹣=，
，
解得y=1.5， 所以FI=2﹣y=0.5， ∴I为FP的中点， ∴N是EF的中点， ∴EN=0.5EF=
，
∵△BIN是等腰直角三角形，且BI=NI=1.5， ∴BN=
，BK=AB﹣AK=4﹣
=，BM=
+
+
，MN=BN﹣BM==
；
﹣
=
，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
故答案为：．
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【点评】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相似的性质和判定、勾股定理，三角函数，计算比较复杂，作辅助线，构建全等三角形，计算出PE的长是关键．
31．（2017?襄阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，
第48页（共222页）
且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD的长为
．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KQ：勾股定理．
【分析】根据D，C，E，F四点共圆，可得∠CDE=∠CFE=∠B，再根据CE=FE，可得∠CFE=∠FCE，进而根据∠B=∠FCE，得出CF=BF，同理可得CF=AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=AB=5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2=CD×CA，进而得出CD的长．
【解答】解：由折叠可得，∠DCE=∠DFE=90°， ∴D，C，E，F四点共圆， ∴∠CDE=∠CFE=∠B， 又∵CE=FE， ∴∠CFE=∠FCE， ∴∠B=∠FCE， ∴CF=BF，
同理可得，CF=AF，
∴AF=BF，即F是AB的中点， ∴Rt△ABC中，CF=AB=5，
由D，C，E，F四点共圆，可得∠DFC=∠DEC， 由∠CDE=∠B，可得∠DEC=∠A， ∴∠DFC=∠A， 又∵∠DCF=∠FCA， ∴△CDF∽△CFA，
∴CF2=CD×CA，即52=CD×8， ∴CD=
，
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故答案为：．
【点评】本题主要考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F是AB的中点．
32．（2017?河南）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=
+1，点M，N
分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为
+或1 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KW：等腰直角三角形．
【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=列方程即可得到结论． 【解答】解：①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点， ∴BM=BC=
+；
MB′，
②如图2，当∠MB′C=90°， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形， ∴CM=
MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′， ∴BM=B′M，
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