中考数学专题探究之折叠问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．（2017?长沙）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（ ）
A．C．
B．
D．随H点位置的变化而变化
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根据勾股定理可以得到x﹣x2=y，进而求出△CHG的周长． 【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y， ∵∠EHG=90°， ∴∠DHE+∠CHG=90°． ∵∠DHE+∠DEH=90°， ∴∠DEH=∠CHG，
又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG， ∴
=
=
，即
==
，
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∴CG=，HG=，
△CHG的周长为n=CH+CG+HG=在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2 即（﹣x）2+y2=（﹣y）2 整理得
﹣x2=
，
，
∴n=CH+HG+CG=∴=． 故选：B．
==．
解法二：连接AH、AG，作AM⊥HG于M．
∵EA=EH， ∴∠1=∠2，
∵∠EAB=∠EHG=90°， ∴∠HAB=∠AHG， ∵DH∥AB，
∴∠DHA=∠HAB=∠AHM， ∵AH=AH，∠D=∠AMH=90°， ∴△AHD≌△AHM， ∴DH=HM，AD=AM， ∵AM=AB，AG=AG， ∴Rt△AGM≌Rt△AGB，
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∴GM=GB，
∴△GCH的周长=n=CH+HM+MG+CG=CH+DH+CG+GB=2BC， ∵四边形ABCD的周长=m=4BC， ∴=
【点评】本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．
2．（2017?内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，3
），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，
点C落在点D处，则点D的坐标为（ ）
A．（，） B．（2，） C．（，） D．（，3﹣）
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；D5：坐标与图形性质；LB：矩形的性质．
【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出D点坐标．
【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，3∴AC=OB=3
，∠CAB=30°，
×
=3，
），
∴BC=AC?tan30°=3
∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处， ∴∠BAD=30°，AD=3
，
过点D作DM⊥x轴于点M， ∵∠CAB=∠BAD=30°， ∴∠DAM=30°，
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∴DM=AD=∴AM=3
，
×cos30°=，
∴MO=﹣3=， ∴点D的坐标为（，故选：A．
）．
【点评】此题主要考查了翻折变换以及矩形的性质和锐角三角函数关系，正确得出∠DAM=30°是解题关键．
3．（2017?广州）如图，E，F分别是?ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的性质得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEG=∠EGF，
∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′， ∴∠GEF=∠DEF=60°，
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∴∠AEG=60°， ∴∠EGF=60°，
∴△EGF是等边三角形， ∵EF=6，
∴△GEF的周长=18， 故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
4．（2017?台州）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF．将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的
时，则
为（ ）
A． B．2 C． D．4
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L8：菱形的性质；LB：矩形的性质． 【分析】设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，得出EN=BE=y，EM=x+y，由相似的性质得出AB=4MN=4x，求出AE=AB﹣BE=4x﹣y，得出方程4x﹣y=x+y，得出x=y，AE=y，即可得出结论．
【解答】解：设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形， ∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的∴AB=4MN=4x， ∴AE=AB﹣BE=4x﹣y，
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，且两个菱形相似，