向量与圆锥曲线(教师版)
1．三点共线问题； 2．公共点个数问题； 3．弦长问题； 4．中点问题； 5．定比分点问题； 6．对称问题；
7．平行与垂直问题； 8．角的问题。
近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为
（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
特别提醒： 法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。
★★★突破重难点
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【例1】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y＝2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA OB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
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[解]（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于 点A(3,)、B(3,－). ∴ =3；
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y k(x 3)，其中k 0，
y2 2x由 得 ky2 2y 6k 0 y1y2 6 y k(x 3)
又 ∵ x1 y12,x2 y22，
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∴OA OB x1x2 y1y2 1(y1y2)2 y1y2 3，
综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么 =3”是真命题；
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(2)逆命题是：设直线l交抛物线y=2x于A、B两点,如果 =3,那么该直线过点T(3,0).该命
题是假命题.
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例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时OA OB=3,直线AB的方程为：y (x 1)，而T(3,0)
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不在直线AB上；
说明：由抛物线y=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 =3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果
y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
【例2】已知A,B为抛物线x=2py(p>0)上异于原点的两点，OA OB 0，点C坐标为（0，2p）
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（1）求证：A,B,C三点共线；
（2）若＝ （ R）且OM AB 0试求点M的轨迹方程。
x12x22
（1）证明：设A(x1,),B(x2,)，由OA OB 0得
2p2p
x12x22
x1x2 0, x1x2 4p2，
2p2p x12 x22 x12
),AB (x2 x1,) 又 AC ( x1,2p 2p2p
x22 x12x12
x1 (2p ) (x2 x1) 0，
2p2p
AC//AB，即A,B,C三点共线。