向量与圆锥曲线(教师版)
k2 1 0，即k2 4 ∴ 2 k 2
∵
11k2 k2
44
3
故由①、②得 2 k
k 2 x2y2
【例6】已知椭圆 1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的
32
直线交椭圆于A、C两点，且AC BD，垂足为P.
x02y02
1；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。 （Ⅰ）设P点的坐标为(x0,y0)，证明：32
（Ⅰ）证明:
椭圆的半焦距c 1， 由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，
2222
x0y0x0y0122
≤ 1． 故x0 y0 1，所以，32222
（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k 0时，BD的方程为y k(x 1)，
x2y2
1，并化简得(3k2 2)x2 6k2x 3k2 6 0． 代入椭圆方程326k23k2 6
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则：x1 x2 2，x1x2 ，
3k 23k2 2
BD x1 x2 ；
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为
1
．
k
1 2 1
k 所以，AC ． 13 2 2k
124(k2 1)2 (k2 1)296
≥ 四边形ABCD的面积S BD AC ．
2(3k2 2)(2k2 3) (3k2 2) (2k2 3) 225
2
当k=1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4． 综上，四边形ABCD的面积的最小值为【例7】
已知两定点F1,F2
2
，满足条件PF2 PF1 2的点P的轨迹是曲线E
，直线
96． 25