向量与圆锥曲线(教师版)
y=kx-1与曲线E交于A,B两点。
如果AB ，且曲线E上存在点C，使OA OB mOC，求m的值
和 ABC的面积S。
由双曲线的定义可知，曲线E
是以F1,F2
为焦点的双曲线的左支，
且c
a 1，易知b 1，故曲线E的方程为x2 y2 1 x 0
y kx 1
设A x1,y1 ,B x2,y2 ，由方程组 2 2
x y 1
22
消去y，得 1 k x 2kx 2 0
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有
1 k2 0 22
2k 8 1 k 0
解得 k 1
x x 2k 0
12
1 k2 2 x1x2 0 1 k2
又∵ AB
x1
x2
依题意得
4
2
整理后得 28k 55k 25 0
552
或k 但
k 1 ∴k
74故直线ABx y 1 0
设C xc,yc ，由已知OA OB mOC，得 x1,y1 x2,y2 mxc,myc
2∴k
x1 x2y1 y2
, ， m 0
m m
2k2k22
y1 y2 k x1 x2 2 2 2
2又x1 x2 2 8 k 1k 1k 1
8064
∴点C8 将点C的坐标代入曲线E的方程，得2 2 1
m mm
∴ xc,yc
，
得m 4，但当m 4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴
m 4，C点的坐标为2，C到AB
1 3
∴ ABC的面积S
11
23
2
【例8】已知函数y kx与y x 2(x≥0)的图象相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1，l2分别是