向量与圆锥曲线(教师版)
y x2 2(x≥0)的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x1 x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III）试比较OM与ON的大小，并说明理由（O是坐标原点）．
y kx，2
解：（I）由方程 消y得x kx 2 0． ····· ① 2
y x 2
k2 8 0，
依题意，该方程有两个正实根，故
解得k
x1 x2 k 0，
（II）由f (x) 2x，求得切线l1的方程为y 2x1(x x1) y1，
2
由y1 x1 2，并令y 0，得t
x11
2x1
k x1，x2是方程①的两实根，且x1
x2，故x1
x1是关于k的减函数，所以x
1的取值范围是(0．
t是关于x
1的增函数，定义域为(0，所以值域为( ，0)，
（III）当x1 x2时，由（II）可知OM t
x11
． 2x1
类似可得ON
x21x xx x ．OM ON 12 12． 2x22x1x2
由①可知x1x2 2．从而OM ON 0． 当x2 x1时，有相同的结果OM ON 0． 所以OM ON．