向量与圆锥曲线(教师版)
若不存在，请说明理由．
解：由条件知F1( 2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
解法一：（I）设M(x，y)，则FM (x 2，y)，F1A (x1 2，y1)， 1 F1B (x2 2，y2)，FO (2，0)，由FM F1A F1B FO111得
x 2 x1 x2 6， x1 x2 x 4， x 4y
AB即 于是的中点坐标为 ． y y y22 y y y 12 12y
yy y2y(x1 x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1 y2
x 4x 8x1 x2
2x 82
222
又因为A，B两点在双曲线上，所以x1 y12 2，x2 y2 2，两式相减得
(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2)，即(x1 x2)(x 4) (y1 y2)y．
将y1 y2
y
(x1 x2)代入上式，化简得(x 6)2 y2 4． x 8
0)，也满足上述方程． 当AB与x轴垂直时，x1 x2 2，求得M(8，
所以点M的轨迹方程是(x 6)2 y2 4．
0)，使CA CB为常数． （II）假设在x轴上存在定点C(m，
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y k(x 2)(k 1)． 代入x y 2有(1 k)x 4kx (4k 2) 0．
2
2
2
2
2
2
4k24k2 2
则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1 x2 2，x1x2 2，
k 1k 1
于是CA CB (x1 m)(x2 m) k2(x1 2)(x2 2) (k2 1)x1x2 (2k2 m)(x1 x2) 4k2 m2
(k2 1)(4k2 2)4k2(2k2 m) 4k2 m2 22
k 1k 12(1 2m)k2 24 4m2
m 2(1 2m) m2． 22
k 1k 1
因为CA CB是与k无关的常数，所以4 4m 0，即m 1，此时CA CB= 1．