向量与圆锥曲线(教师版)
第十九讲 向量与圆锥曲线（二）
x2
y2 1的左、右焦点. 【例5】设F1、F2分别是椭圆4
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.
解：（Ⅰ）解法一：
易知a 2,b 1,c
，所以F1,F2
，设P x,y ，
则PF1 PF2 x, y,
x21
x, y x y 3 x 1 3 3x2 8
44
222
因为x 2,2 ，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1 PF2有最小值-2 当x= 2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值1
解法二：易知a 2,b 1,c
F1,F2
，设P x,y ，则
2 2 2 PF1 PF2 F1F2PF1 PF2 PF1 PF2 cos F1PF2 PF1 PF2
2PF1 PF21
x 2
2
y x2
2
y2 12 x2 y2 3（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线x 0不满足题设条件，可设直线l:y kx 2,A x1,y2 ,B x2,y2 ，
y kx 2
21 2
y联立 x2，消去，整理得： k x 4kx 3 0 2
4 y 1
4
∴x1 x2
4kk2
4
,x1 x2
3k2
4
由 4k 4 k
2
1 2
k k
得：或 3 4k 3 0
4
又0 A0B 90 cos A0B 0 OA OB 0，∴OA OB x1x2 y1y2 0
k2 1 8k2
4 又y1y2 kx1 2 kx2 2 kx1x2 2k x1 x2 4
k2 k2 k2
444
2
3k2