4 把上两个式子代入偏微分方程(1),可得到新自变量 , 的新的方程如下：
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F 0 (5) A11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 A12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y 2 2 A a 2 a a 22 11 x 12 x y 22 y B1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y B2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y C c F f
其中系数
( 6)
并且代换后，方程(5)仍然是线性的.2 2 a11zx 2a12 zx z y a22 z y 0
从(6)
可以看出，如果取 以下方程的一个特解作新自变数
(7)