高中数学复习讲义
第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算
【基础练习】 1.
集
合
{x(y?,)?x0?列y2?,用x0?y举2Z法,表,示}{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．
2.设集合A?{xx?2k?1,k?Z}，B?{xx?2k,k?Z}，则A?B??．
{0,2} 3.已知集合M?{0,1,2}，N?{xx?2a,a?M}，则集合M?N?_______．
4.设全集I?{1,3,5,7,9}，集合A?{1,a?5,9}，CIA?{5,7}，则实数a的值为____8或2___． 【范例解析】
2例.已知R为实数集，集合A?{xx?3x?2?0.}若B?CRA?R，
B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}，求集合B.
分析：先化简集合A，由B?CRA?R可以得出A与B的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.
解：（1）A?{x1?x?2}， ?CRA?{xx?1或x?2}.又B?CRA?R，A?CRA?R，可得A?B.
而B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}，
?{x0?x?1或2?x?3}?B.
借助数轴可得B?A?{x0?x?1或2?x?3}?{x0?x?3}. 【反馈演练】
1,2?，B??1,2,3?，C??2,3,4?，则?A?B?UC=_________． 1．设集合A??2
．
设
P，Q为两个非空实数集合，定义集合
P+Q={a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5},Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的个数是____8___个．
23．设集合P?{xx?x?6?0}，Q?{x2a?x?a?3}.
（1）若P?Q?P，求实数a的取值范围；
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（2）若P?Q??，求实数a的取值范围； （3）若P?Q?{x0?x?3}，求实数a的值. 解：（1）由题意知：P?{x?2?x?3}，
P?Q?P，?Q?P.
①当Q??时，得2a?a?3，解得a?3．
②当Q??时，得?2?2a?a?3?3，解得?1?a?0． 综上，a?(?1,0)?(3,??)．
（2）①当Q??时，得2a?a?3，解得a?3；
②当Q??时，得??2a?a?3,3，解得a??5或?a?3．
2?a?3??2或2a?332综上，a?(??,?5]?[,??)．
（3）由P?Q?{x0?x?3}，则a?0．
第2课 命题及逻辑联结词
【基础练习】
1.下列语句中：①x?3?0；②你是高三的学生吗？③3?1?5；④5x?3?6． 其中，不是命题的有____①②④_____．
2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p ，否命题可表示为 若?p则?q，逆否命题可表示为若?q则?p；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题． 【范例解析】
例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分；
（3） 设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d.
分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题. 解： （1）
原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；
逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命
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题. （2）
原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；
逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；
逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）
原命题：设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d；真命题； 逆命题：设a,b,c,d?R，若a?c?b?d，则a?b,c?d；假命题； 否命题：设a,b,c,d?R，若a?b或c?d，则a?c?b?d；假命题； 逆否命题：设a,b,c,d?R，若a?c?b?d，则a?b或c?d；真命题.
点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即?p时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等. 例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假. （1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；
（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
（3）p：方程x?x?1?0的两实根的符号相同，q：方程x?x?1?0的两实根的绝对值相等.
分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：
（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题； 非p：2不是4的约数，假命题.
（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p：矩形的对角线不相等，假命题.
（3）p或q：方程x?x?1?0的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；
222p且q：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；
非p：方程x?x?1?0的两实根的符号不同，真命题.
点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假. 例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
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（2）p：每一个非负数的平方都是正数；
（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p：有的四边形没有外接圆； （5）p：某些梯形的对角线互相平分.
分析：全称命题“?x?M,p(x)”的否定是“?x?M,?p(x)”，特称命题“?x?M,p(x)”的否定是“?x?M,?p(x)” . 解：
（1）?p：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题； （2）?p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；
（3）?p：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题； （4）?p：所有四边形都有外接圆，假命题； （5）?p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.
点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语 否定词语 正面词语 否定词语 【反馈演练】
若b?M，则a?M 1．命题“若a?M，则b?M”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p：?x?R,sinx?1，则?p:?x?R,sinx?1.
3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.
ab?若a?b，则2?2．4．命题“若a?b，则2?2?1”的否命题为________________________ 1
ab等于 不等于 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有一个 一个也没有 小于 不小于 任意的 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 ? ? 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
（1）设a,b?R，若ab?0，则a?0或b?0；
（2）设a,b?R，若a?0,b?0，则ab?0． 解：
（1）逆命题：设a,b?R，若a?0或b?0，则ab?0；真命题； 否命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0且b?0；真命题； 逆否命题：设a,b?R，若a?0且b?0，则ab?0；真命题； （2）逆命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0,b?0；假命题； 否命题：设a,b?R，若a?0或b?0，则ab?0；假命题； 逆否命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0或b?0；真命题．
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第3 课时 充分条件和必要条件
【基础练习】
1.若p?q，则p是q的充分条件．若q?p，则p是q的必要条件．若p?q，则p是
q的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知p:x?2，q:x?2，那么p是q的_____充分不必要___条件．
（2）已知p:两直线平行，q:内错角相等，那么p是q的____充要_____条件．
（3）已知p:四边形的四条边相等，q:四边形是正方形，那么p是q的___必要不充分__条件．
3.若x?R，则x?1的一个必要不充分条件是x?0． 【范例解析】
例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）??x?2,?x?y?4,是?的___________________条件； y?2.xy?4.??x?4?0的___________________条件； x?1（2）(x?4)(x?1)?0是
（3）???是tan??tan?的___________________条件； （4）x?y?3是x?1或y?2的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围?大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用. 解：（1）因为??x?2,?x?y?4,1结合不等式性质易得?，反之不成立，若x?，y?10，
2?y?2.?xy?4.有??x?y?4,?x?2,?x?2,?x?y?4,，但?不成立，所以?是?的充分不必要条件.
?y?2.?y?2.?xy?4.?xy?4.?1)的0解集为[?1,4，]x?4?0的解集为(?1,4]，故x?1（2）因为(x?4)x(?x?4?0的必要不充分条件. ?1)是0x?1??5?（3）当????时，tan?,tan?均不存在；当tan??tan?时，取??，??，
424(x?4)x(?但???，所以???是tan??tan?的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即判断“x?1且y?2是x?y?3的____条件”，故x?y?3是x?1或y?2的充分不必要条件.
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