?则?x0?x??0,?2?x0??x,?y即?
0?y?0,?y0??y.??2∵点Q?x0,y0?在函数y?f?x?的图象上
∴?y?x2?2x，即y??x2?2x, 故g?x???x2?2x．
第3课 函数的单调性
【基础练习】 1.下列函数中： ①f(x)?1x； ②f?x??x2?2x?1； ③f(x)??x； ④f(x)?x?1．
其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y?xx的递增区间是___ R ___． 3.函数y?x2?2x?3的递减区间是__________
(??,?1] ． 4.已知函数y?f(x)在定义域R上是单调减函数，且f(a?1)?f(2a)，则实数a的取值范围__________． 5.已知下列命题：
①定义在R上的函数f(x)满足f(2)?f(1)，则函数f(x)是R上的增函数； ②定义在R上的函数f(x)满足f(2)?f(1)，则函数f(x)在R上不是减函数；
③定义在R上的函数f(x)在区间(??,0]上是增函数，在区间[0,??)上也是增函数，则函数f(x)在R上是增函数；
④定义在R上的函数f(x)在区间(??,0]上是增函数，在区间(0,??)上也是增函数，则函数f(x)在R上是增函数．
其中正确命题的序号有_____②______． 【范例解析】
例 . 求证：（1）函数f(x)??2x2?3x?1在区间(??,34]上是单调递增函数；
（2）函数f(x)?2x?1x?1在区间(??,?1)和(?1,??)上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．
11/200
(1,??)
证明：（1）对于区间(??,]内的任意两个值x1，x2，且x1?x2，
因为f(x1)?f(x2)??2x12?3x1?1?(?2x22?3x2?1)?2x22?2x12?3x1?3x2
34?(x1?x2)[3?2(x1?x2)]，
又x1?x2?33，则x1?x2?0，x1?x2?，得3?2(x1?x2)?0， 42故(x1?x2)[3?2(x1?x2)]?0，即f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)． 所以，函数f(x)??2x2?3x?1在区间(??,]上是单调增函数． （2）对于区间(??,?1)内的任意两个值x1，x2，且x1?x2， 因为f(x1)?f(x2)?342x1?12x2?13(x1?x2)， ??x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)又x1?x2??1，则x1?x2?0，(x1?1)?0，(x2?1)?0得，(x1?1)(x2?1)?0 故
3(x1?x2)?0，即f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)．
(x1?1)(x2?1)2x?1在区间(??,?1)上是单调增函数． x?12x?1同理，对于区间(?1,??)，函数f(x)?是单调增函数；
x?12x?1所以，函数f(x)?在区间(??,?1)和(?1,??)上都是单调增函数．
x?1所以，函数f(x)?点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值x1，（2）作差f(x1)?f(x2)，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论． x2；
例2.确定函数f(x)?1的单调性． 1?2x1212分析：作差后，符号的确定是关键．
解：由1?2x?0，得定义域为(??,)．对于区间(??,)内的任意两个值x1，x2，且
x1?x2，
则
f(x1)?f(x2)?11?1?2x11?2x212/200
?1?2x2?1?2x11?2x1?1?2x2
?2(x1?x2)
1?2x1?1?2x2(1?2x1?1?2x2)又x1?x2?0，1?2x1?1?2x2(1?2x1?1?2x2)?0，
?f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)．
所以，f(x)在区间(??,)上是增函数．
点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．
【反馈演练】
121(0,1)，则该函数在R上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． x2?12．已知函数f(x)?4x2?mx?5在(??,?2)上是减函数，在(?2,??)上是增函数，则f(1)?__25___.
1．已知函数f(x)?3. 函数y??x2?x?2的单调递增区间为[?2,?].
24. 函数f(x)?x?1?x的单调递减区间为(??,?1],[,1]．
12125. 已知函数f(x)?ax?1在区间(?2,??)上是增函数，求实数a的取值范围． x?2解：设对于区间(?2,??)内的任意两个值x1，x2，且x1?x2， 则f(x1)?f(x2)?ax1?1ax2?1(1?2a)(x2?x1)???0， x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)1． 2?1?2a?0，即a?x1?x2?0，(x1?2)?0，(x2?2)?0得，(x1?2)(x2?2)?0，
第4课 函数的奇偶性
【基础练习】
x4?11.给出4个函数：①f(x)?x?5x；②f(x)?；③f(x)??2x?5；④2x5f(x)?ex?e?x．
其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____． 2. 设函数f?x???x?1??x?a?为奇函数，则实数
x13/200
a? －1 ．
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）
A.y??x3,x?R B.y?sinx,x?R C.y?x,x?R D.y?(),x?R 【范例解析】
例1.判断下列函数的奇偶性：
1x2(1?2x)2（1）f(x)?； （2）f(x)?lg(x?x2?1)； x2（3）f(x)?lgx?lg211?x； （4）； f(x)?(1?x)x21?x2???x?x(x?0),（5）f(x)?x?x?1?1； （6）f(x)??2
(x?0).??x?x2分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断． 解
：（
1
）
定
义
域
为
x?R，关于原点对称；
(1?2?x)222x?(1?2?x)2(1?2x)2?f(x), f(?x)???2x2?x22x?2?x所以f(x)为偶函数． （
2
）
定
义
域
为
x?R，关于原点对称；
f(?x)?f(x)?lg(?x?x2?1)?lg(x?x2?1)?lg1?0，
?f(?x)??f(x)，故f(x)为奇函数．
（3）定义域为x?(??,0)?(0,??)，关于原点对称；
f(x)?0，?f(?x)??f(x)且
f(?x)?f(x)，
所以f(x)既为奇函数又为偶函数．
（4）定义域为x?[?1,1)，不关于原点对称；故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． （5）定义域为x?R，关于原点对称；
f(?1)?4，f(1)?2，则f(?1)?f(1)且
f(?1)??f(1)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
（6）定义域为x?R，关于原点对称；
22????(?x)?(?x)(?x?0),??x?x(x?0),f(?x)??，?f(?x)??2又f(0)?0， 2(?x?0).(x?0).???(?x)?(?x)?x?x14/200
2???x?x(x?0),?f(?x)??2?f(?x)??f(x)，故f(x)为奇函数．
??x?x(x?0).点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即
f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)判断，注意定义的等价形式f(?x)?f(x)?0或f(?x)?f(x)?0．
例2. 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且当x?0时，f(x)?x2?2x?2，求函数
f(x)的解析式，并指出它的单调区间．
分析：奇函数若在原点有定义，则f(0)?0． 解：设x?0，则?x?0，?f(?x)?x2?2x?2．
又f(x)是奇函数，?f(?x)??f(x)，?f(x)??f(?x)??x2?2x?2． 当x?0时，f(0)?0．
?x2?2x?2,x?0?x?0． 综上，f(x)的解析式为f(x)??0,??x2?2x?2,x?0?作出f(x)的图像，可得增区间为(??,?1]，[1,??)，减区间为[?1,0)，(0,1]．
点评：（1）求解析式时x?0的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“?”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“?x”实现转化；（4）根据图像写单调区间．
【反馈演练】
1．已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则（ D ）
A．f?6??f?7? B．f?6??f?9? C．f?7??f?9? D．f?7??f?10?
2. 在R上定义的函数f?x?是偶函数，且f?x??f?2?x?，若f?x?在区间?1,2?是减函数，则函数f?x?（ B ）
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