点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若?q则?p”的真假. 【反馈演练】
1．设集合M?{x|0?x?3}，N?{x|0?x?2}，则“a?M”是“a?N”的_必要不充分 条件．
充分不必要 条件． 2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的
223．已知条件p:A?{x?Rx?ax?1?0}，条件q:B?{x?Rx?3x?2?0}．若?q是
?p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：q:B?{x?R1?x?2}，若?q是?p的充分不必要条件，则A?B． 若A??，则a?4?0，即?2?a?2；
2?a2?4?0,5?2??a??2． 若A??，则??a?a2?4解得?a?a?42?x?,??22综上所述，?5?a?2．26/200
高中数学复习讲义 第二章 函数A
第1课 函数的概念
1．设有函数组：①y?x，y?x2；②y?x，y?3x3；③y?x，y?x；④x?1y????1(x?0),xxy?，；⑤y?lgx?1，y?lg．其中表示同一个函数的有___
10x(x?0),②④⑤___．
2.设集合M?{x0?x?2}，N?{y0?y?2}，从M到N有四种对应如图所示： y y y
2 2 2
O O O 1 2 x 1 2 x 1
① ② ③
其中能表示为M到N的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域：
y 2 2 x O 1 ④
2 x R (1) f(x)?1?3x的定义域为______________；
______________；
(2) f(x)?1{xx??1} 的定义域为2x?10(x?1)1[?1,0)?(0,??) ； (4) f(x)???,?1)?(?1,0) (3) f(x)?x?1?的定义域为______________的定义(域为
xx?x_________________． 4．已知三个函数:(1)y?P(x)； (2)y?2nP(x)(n?N*)； (3)y?logQ(x)P(x)．写出使Q(x)各函数式有意义时，P(x)，Q(x)的约束条件：
Q(x)?0 (1)______________________；
(3)______________________________． 5.写出下列函数值域：
2PQ(x)?0且P(x)?；0且 (x)?0 (2)______________________ Q(x)?1
(1) f(x)?x?x，x?{1,2,3}；值域是{2,6,12}． (2) f(x)?x?2x?2； 值域是[1,??)． (3) f(x)?x?1，x?(1,2]． 值域是(2,3]． 【范例解析】
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x2?1例1.设有函数组：①f(x)?，g(x)?x?1；②f(x)?x?1?x?1，
x?1g(x)?x2?1；
③f(x)?x2?2x?1，g(x)?x?1；④f(x)?2x?1，g(t)?2t?1．其中表示同一个
函数的有③④．
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．
解：在①中，f(x)的定义域为{xx?1}，g(x)的定义域为R，故不是同一函数；在②中，
f(x)的定义域为[1,??)，g(x)的定义域为(??,?1]?[1,??)，故不是同一函数；③④是
同一函数．
点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：① y?1x； ?x2?1； ② f(x)?2?xlog1(2?x)2??2?x?0,解得x??1且x??2或x?1且x?2，
2??x?1?0,故定义域为(??,?2)?(?2,?1]?[1,2)?(2,??)．
② 由题意得：log1(2?x)?0，解得1?x?2，故定义域为(1,2)．
解：（1）① 由题意得：?2例3.求下列函数的值域：
（1）y??x?4x?2，x?[0,3)；
2x2(x?R)； （2）y?2x?1（3）y?x?2x?1．
分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域． （1） 解：y??x?4x?2??(x?2)?2，
22x?[0,3)，?函数的值域为[?2,2]； 0?1?1，则x2?1?1??1?0，x2?1x21?1?2（2） 解法一：由y?2，x?1x?1?0?y?1，故函数值域为[0,1)．
x2yy22?0，?0?y?1，故解法二：由y?2，则x?，x?0，?x?11?y1?y函数值域为[0,1)．
22（3）解：令x?1?t(t?0)，则x?t?1，?y?t?2t?1?(t?1)?2，
2当t?0时，y??2，故函数值域为[?2,??)． 点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围． 【反馈演练】
(??,0] ． 1．函数f(x)＝1?2x的定义域是___________
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2．函数f(x)?1(1,2)?(2,3) ． 的定义域为_________________2log2(?x?4x?3)3. 函数y?1(0,1] (x?R)的值域为________________． 21?x(??,4] ． 4. 函数y?2x?3?13?4x的值域为_____________
13[?,0)?(,1] 25．函数y?log0.5(4x?3x)的定义域为_____________________． 446.记函数f(x)=2?x?3的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B． x?1(1) 求A；
(2) 若B?A，求实数a的取值范围． 解：(1)由2－
x?3x?1≥0，得≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． x?1x?1(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ． ∵B?A， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥
1或a≤－2，而a<1， 21,1)． 2∴≤a<1或a≤－2，故当B?A时， 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[
第2课 函数的表示方法
【基础练习】
126x?7 ；g(f(x))?__________6x?4 ．)?_________1.设函数f(x)?2x?3，g(x)?3x?5，则f(g(x)
2.设函数f(x)?112，g(x)?x?2,则g(?1)?_____3_______；f[g(2)]?；1?x7f[g(x)]?1
． 2
x?33.已知函数f(x)是一次函数，且f(3)?7，f(5)??1,则f(1)?__15___．
4?|x?1|?2,|x|?1, 1?134.设f(x)＝?1，则f[f()]＝_____________．
2, |x|?1?2?1?x33y??|x?1| (0≤x≤2)
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 22【范例解析】
例1.已知二次函数y?f(x)的最小值等于4，且f(0)?f(2)?6，求f(x)的解析式． 分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．
第5题
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??c?6,?a?2,???解法一：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，则?4a?2b?c?6,解得?b??4,
?c?6.?4ac?b2???4.??4a故所求的解析式为f(x)?2x2?4x?6． 解法二：f(0)?f(2)，?抛物线y?f(x)有对称轴x?1．故可设
f(x)?a(x?1)2?4(a?0)．
将点(0,6)代入解得a?2．故所求的解析式为f(x)?2x2?4x?6．
解法三：设F(x)?f(x)?6.，由f(0)?f(2)?6，知F(x)?0有两个根0，2， 可设F(x)?f(x)?6?a(x?0)(x?2)(a?0)，?f(x)?a(x?0)(x?2)?6，
2将点(1,4)代入解得a?2．故所求的解析式为f(x)?2x?4x?6．
点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．
例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出y?f(x)的函数解析式．
y
4
3
2
1 分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
1O 1x，当x?[40,60]时，直线方程为y?10 x20 ?230 解：当x?[0,30]时，直线方程为y?， 40 50 60 x 1510?1?15xx?[0,30],??f(x)??2x?(30,40),
?1x?[40,60].?x?2?10例2 点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域． 【反馈演练】
ex?e?xex?e?x1．若f(x)?，g(x)?，则f(2x)?（ D ）
22f(x?)g(x Ｃ．2g(x ) Ａ． 2f(x) Ｂ．2[1? Ｄ． 2[f(x)?g(x)]
412．已知f(x?1)?2x?3，且f(m)?6，则m等于________．
23. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＋2x．求函数g(x)的解析式． 解：设函数y?f?x?的图象上任意一点Q?x0,y0?关于原点的对称点为P?x,y?，
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