比 数 列 等差 数列 {an} 系数法 =c(an+λ),比较系数求得λ,转化为等比数列 通项 公式 前n项 和公式 通项 等比 数列 {an} 前n项 和公式 公式 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d n(n-1)n(a1?an)2Sn=na1+2d= am+an=ap+aq?m+n=p+q; am+an=2ap?m+n=2p Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…为等差数列 aman=apaq?m+n=p+q, an=a1qn-1=amqn-m aman=?a1(1-qn)a1-anq?,q?1,?1-q?1-q?na,q?1?1a2p?m+n=2p 公比不等于-1时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成 等比数列 Sn= 12. 数列求和及其应用
等差数列 n(a1?an)n(n-1)n(n?1)2Sn=na1+2d=,特别1+2+3+…+n=2 数 列 求 和 及 数 列 的 简 常 单 用 应 求 用 和 方 法 ?a1(1-qn)a1-anq常 ?,q?1,?用 1-q?1-q等比数列 ?na,q?1,求 2n-1n?1S特别1+2+2+…+2=2-1 n=和 2n?1n(n?1)(2n?1)公 自然数平方和 612+22+32+…+n2=3·(1+2+…+n)= 式 2?n(n?1)?自然数立方和 ?3332?2?? 1+2+…+n=(1+2+…+n)=公式法 分组法 裂项法 错位相减法 倒序相加法 如an=2+2n,an=3n nn如an=2n+2,an=(-1)n+2 111如an=n(n?1)=n-n?1 如an=(2n-1)22n 12kCCC如n+2n…+kn+…nC+nn 常用裂项方11?11??-?n(n?k)knn?k??; 法:=1?11?1-??n2-1=2?n-1n?1?; 1?11?1-??4n2-1=2?2n-12n?1?;
n?111nn-1n(n-1)2=(n-1)2-n2n
13. 空间几何体(其中r为半径,h为高,l为母线等)
棱S全=S侧+2S底 柱 棱S全=S侧+S底 锥 空 间 几 何 体 棱S全=S侧+S上底+S下底 台 圆S全=2πr2+2πrh 柱 外的 圆S全=πr2+πrl 锥 面的 圆台 S全=π(r'2+r2+r'l+rl) 面积 之和 1V=3π1V=3πr2h 表面积 体积 V=S底2h高 表面 积即 空间 1几何 V=3(S'+S'S+S)h 1V=3S底2h高 1V锥=3S2h ↑S'=0 V台体暴 露在 V=πr2h 1=3(S'+S'S+S)h ↓S'=S V柱=S2h 所有 (r'2+r'r+r2)h 4V球=3πR3 球 S球=4πR2
14. 空间点、直线、平面的位置关系(大写字母表示点,小写字母表示直线,希腊字母表示平面) 空 间 基 点 本 、 公 直 理 线 公理3 公理4 P?α,P?β,α∩β=l?P?l a∥c,b∥c?a∥b 公理2 A,B,C不共线?A,B,C确定平面α 用公理1 A?l,B?l,A?α,B?α?l?α 判断直线在平面内 确定平面 途 确定两平面的交线 两直线平
、 平 面 的 位 置 关 系 位 置 关 系 面面 线面 线线 行 共面和异面:共面为相交和平行;不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线 点线面 A?l,B?l;A?α,B?α;l?α.l∩α=A,l∥α l∥α,l∩α=A,l?α分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点 α∥β,α∩β=l分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点 判定定理 性质定理 a∥α,a?β,α线面 a?α,b?α,a∥b?a∥α 线线平行?线面平行 ∩β=b?a∥b 线面平行?线线平行 α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a面面 线面平行?面面平行 ∥b 面面平行?线线平行 平 行 关 系 线面 垂 直 关 系 面面 l⊥β,l?α?α⊥β 线面垂直?面面垂直 线面垂直?线面垂直 a?α??b?α??a∥b 线线垂直?线线平行 α⊥β,α∩β=l,a?αl?a⊥β 面面垂直?线面垂直 ,a⊥
定义 特殊情况 两直线平行时角为0° 范围 线线角 把两条异面直线平移到相交时两条相交直所成线所成的角 角为90°时称两直?π?0,?? ?2? 空 间 角 线垂直 线面平行或线在平面内时线线面角 平面的一条斜线与其在该平面内的射影所成角 面角为0° 线面垂直时线面角为?π?0,?? ?2?