2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（理）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目
要求的） 1．（题1） 设集合P?{x|x2?23x≤0},m?20.3，则下列关系中正确的是（ ） A．m?P 【解析】 D；
P?{x|0≤x≤23}，0?m?20.3?2?23，故m?P，因此{m}TP
B．m?P C．{m}?P D．{m}TP
2．（题2）
设平面向量a?(1,2),b?(?2,y)，若a∥b，则|3a?b|等于（ ） A．5
B．6
C．17 D．26 【解析】 A；
a∥b，则2?(?2)?1?y?0?y??4，从而3a?b?(1,2) 3．（题3） 若复数z满足
z?2i，则z对应的点位于（ ） 1?iA．第一象限 B．第二象限 【解析】 B；
z?2i(1?i)??2?2i． 4．（题4）
?1?设函数f(x)?x????2?3x?2C．第三象限 D．第四象限
，则其零点所在的区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【解析】 B；
f(x)在R上单调增，f(1)??1?0，f(2)?7?0，故零点所在区间(1,2)． 5．（题5）
若{an}为等差数列，Sn是其前n项和，且S11?A．3 【解析】 B；
由a1?a11?a2?a10???a5?a7?2a6，可得S11?11a6，∴a6?6．（题6）
2π． 322π，则tana6的值为（ ） 3B．?3 C．?3 D．?3 3 1
x2y2x2y2若椭圆??1(m,n,p,q均为正数）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则?1与双曲线?pqmn|PF1|?|PF2|等于（ ）
A．p2?m2 【解析】 C；
B．p?m C．m?p D．m2?p2
由题设可知m?n，再由椭圆和双曲线的定义有|PF1|?|PF2|?2m及|PF1|?|PF2|??2p，两个式子分别平方再相减即可得|PF1||PF2|?m?p．
7．（题7）
某单位员工按年龄分为A,B,C三级，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是A．110 【解析】 B；
B．100
1，则该单位员工总数为 45（ ）
C．90 D．80
1n1?n?，由分层抽样知C组中抽取的人数为20??2，于是甲
5?4?110101乙二人均被抽到的概率为C2n?，解得n?100．
4510设员工总数为n，则C组人数为
8．（题8）
?K,f(x)≤K设函数y?f(x)的定义域为R?，若对于给定的正数K，定义函数fK(x)??， 则
f(x),f(x)?K?当函数
f(1?x)x?时，定积分,K1fk(x)dx的值为（ ） ?142A．2ln2?2
【解析】 D；
B．2ln2?1 C．2ln2 D．2ln2?1
?1,??由题设f1(x)???1,??x1≤1211212x，于是定积分?1f1(x)dx??1dx??1dx?lnx1?x1?2ln2?1．
11444x?1x
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9．（题9）
把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是 ． 【解析】 0.12；
151711131?????0.32?0.12． 10010010010010．（题10） 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3．
2
212正视图左视图11俯视图10题图
【解析】 6；
几何体如图所示，正面为2?2的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为1和2，因此不难算出体积1?2为?2?2?6cm3．
2
11．（题11）
若A,B,C是⊙O上三点，PC切⊙O于点C，?ABC?110?,?BCP?40?，则?AOB的大小为 ． 60?
解析：如图，弦切角?PCB??CAB?40?，于是?ACB?180???CAB??ABC?30?，从而?AOB?2?ACB?60?．
PCBOA
12．（题12）
??x?a?2cos?若直线l:x?3y?0与曲线C:?（?为参数，a?0）有两个公共点A,B，且|AB|?2，则实数a的值
??y?2sin?为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C的极坐标方程
为 ．
2,?2?4?cos??2?0； 【解析】
a?a?曲线C：(x?a)?y?2，点C到l的距离为?，因此|AB|?22????2?a?2；
?2?1?(3)2222|a|2 3
(??2cos?)2?(2sin?)2?(2)2，即?2?4?cos??2?0．
13．（题13）
若A,B,C为△ABC的三个内角，则
41的最小值为 ． ?AB?C9【解析】 ；
πA?B?C?π，且
1?B?CAB?CA?4(A?B?C)???≥5?24???9， ??5?4?AB?CAB?CAB?C??419B?CA因此?，即A?2(B?C)时等号成立． ≥，当且仅当4??AB?CπAB?C14．（题14） 有下列命题：
①若f(x)存在导函数，则f?(2x)?[f(2x)]?；
?π?②若函数h(x)?cos4x?sin4x，则h????1；
?12?③若函数g(x)?(x?1)(x?2)?(x?2009)(x?2010)，则g?(2010)?2009!；
④若三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d，则“a?b?c?0”是“f(x)有极值点”的充要条件． 其中真命题的序号是 ． 【解析】 ③；
?f(2x)???f?(2x)(2x)??2f?(2x)，①错误；
?π?h?(x)?4cos3x(?sinx)?4sin3xcosx??4sinxcosx??2sin2x，则h?????1，②错；
?12?g?(x)??(x?1)(x?2)?(x?2009)??(x?2010)??(x?1)(x?2)?(x?2009)?，③正确；
f?(x)?3ax2?2bx?c，??4b2?12ac?4(b2?3ac)，只需b2?3ac?0即可，a?b?c?0是b2?3ac?0的充分不必要条件．
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（题15）
π??已知函数f(x)?cos?2x???sin2x?cos2x
3??⑴求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑵设函数g(x)?[f(x)]2?f(x)，求g(x)的值域． 13【解析】 ⑴f(x)?cos2x?sin2x?sin2x?cos2x
2213π???cos2x?sin2x?cos2x?sin?2x??， 226??2π∴最小正周期T??π．
2ππkππ由2x??kπ?(k?Z)，得x??(k?Z)
6223kππ函数图象的对称轴方程为x??(k?Z)
23
4
π?π???π?1?1??⑵g(x)?[f(x)]?f(x)?sin?2x???sin?2x????sin?2x?????
6?6???6?2?4??222当sin???2x?π?6????12时，g(x)取得最小值?14；
当sin???2x?π?6???1时，g(x)取得最大值2，
所以g(x)的值域为?????4,2???．
16．（题16）
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，PA?AB?BC?12AD．E为AB中点，F为PC中点．
⑴求证：PE?BC；
⑵求二面角C?PE?A的余弦值；
⑶若四棱锥P?ABCD的体积为4，求AF的长．
PAFDEBC
【解析】 ⑴∵PA?平面ABCD，BC?平面ABCD
∴PA?BC ∵?ABC?90? ∴BC?AB
∴BC?平面PAB 又E是AB中点， ∴PE?平面PAB ∴BC?PE． ⑵建立直角坐标系A?xyz，设AB?1
则B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),E??1?2,0,0???
∴???BC??(0,1,0),???EP????1??????1???2,0,1??,EC???2,1,0??
由⑴知，BC?平面PAE，∴??? BC?是平面PAE的法向量．
设平面PEC的法向量为?n?(x,y,z)，则?n????EC??0且?n????EP? ?0，
∴y??112x,z?x,?n?(2,?1,1)．????2
?∴cos??|?n?BCn|?|???BC?|?66，
5
底面ABCD为直角梯形，
?ABC??BAD?90?，