?y?x?1,?（3）若实数x，y满足不等式组?y?x?2,则z?x?2y的最小值为
?y?0,?75 （B） ?2 （C）1 （D）
2211111（4）右图给出的是计算????...?的一个程序框图，
2468100 （A）? 其中判断框内应填入的条件是
（A）i?50 （B）i?50 （C）i?25 （D） i?25
（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为
（A）16
（B）18
（C）24
（D）32
（6）已知x，y，z?R，若?1，x，y，z，?3成等比数列，则xyz的值为 C
（A）?3
（B）?3
（C）?33 （D）?33 （7）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB?AD，AB?4，BC?2，AD?4，若P为CD的中点，则
????????PA?PB的值为 （A）?5 （B）?4 （C）4 （D）5
?2?x?1,x?0,（8）已知函数f(x)??若方程f(x)?x?a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围
?f(x?1),x?0.是
（A）???,1? （B）???,1? （C）?0,1? （D）?0,???
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）命题“?x0?(0,),tanx0?sinx0”的否定是 . （10）在极坐标系中，圆??2的圆心到直线?cos???sin??2的距离为 ． （11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中 分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大 的一组是 组．
（12）如图，AB是⊙O的直径，直线DE切⊙O于点D，且与AB延长线交于 点C，若CD?2D?2甲乙0 7 95 4 5 5 184 4 6 4 7m 9 3E3，CB?1，则?ADE= ．
AOBC（13）抛物线y?x的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点M(1,1)，且 与准线相切的圆共有 个．
36
（14）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在AD上，正方形
?ABCD以AD为轴逆时针旋转?角(0≤?≤)
3到AB1C1D的位置 ，同时点M沿着AD从点A运动到点D，
C1N1B1Q??????????MN1?DC1，点Q在MN1上，在运动过程中点Q始终 ?????满足QM?DMAQ0BC1，记点Q在面ABCD上的射影为Q0，则 cos???????????在运动过程中向量BQ0与BM夹角?的正切的最大值为 .
22三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）已知函数f(x)?(sin2x?cos2x)?2sin2x. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y?g(x)的图象是由y?f(x)的图象向右平移
?个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当8?x?[0,]时，求y?g(x)的最大值和最小值.
4
（16）（本小题共13分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立. （Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列； （Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.
（17）（本小题共13分）
37
如图1，在边长为3的正三角形ABC中，且满足AE?FC?CP?1.BC上的点，E，F，P分别为AB，AC，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1?EF?B成直二面角，连结A1B，A1P.（如图2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小.
A
A1 E FE
F
BBP CP
图1 图2
(18)（本小题共14分）
已知函数f(x)?C12x?2ex?3e2lnx?b在(x0,0)处的切线斜率为零． 2（Ⅰ）求x0和b的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内f(x)≥0恒成立； (Ⅲ) 若函数F(x)?f?(x)?（19）（本小题共13分）
a有最小值m，且m?2e，求实数a的取值范围. xx2y21已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的端点，△A1BA2ab2的面积为23． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x?4分别交于
M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2．
（20）（本小题共14分）
若对于正整数k,g(k)表示k的最大奇数因数，例如g(3)?3，g(10)?5.设
Sn?g(1)?g(2)?g(3)?g(4)???g(2n)．
38
（Ⅰ）求g(6),g(20)的值；（Ⅱ）求S1，S2，S3的值；（Ⅲ）求数列?Sn?的通项公式．
北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案及评分标准 （理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）A （3）A（4）B （5）C （6）C （7）D （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）?x?(0,),tanx?sinx （10）2 （11）84 乙（12） 60 （13） x??注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）解：（Ⅰ）因为f(x)?(sin2x?cos2x)?2sin2x ?sin4x?cos4x?22?2?61 2 （14）
124?2sin(4x?) , 所以函数
4?f(x)的最小正周期为.
2（Ⅱ）依题意,y?g(x)?????2sin[4(x?)?]?1?2sin(4x?)?1. 因为0?x?，所以
8444???3???3???即x?时，g(x)取最大值2?1；当4x???，即x?0时， g(x)?4x??. 当4x??，
444421644取最小值0.
（16）解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，?3. P(X?10)?0.8?0.9?0.72，
P(X?5)?0.2?0.9?0.18 ，P(X?2)?0.8?0.1?0.08， P(X??3)?0.2?0.1?0.02.
由此得X的分布列为：
X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 ?3 0.02 14， 5512334?又n?N且n?4，得n?3，或n?4. 所求概率为P?C4?0.8?0.2?0.8?0.8192.（或写成）
625答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192. A（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件.由题设知4n?(4?n)?10，解得n?（17）（共13分）
（Ⅰ）证明：取BE中点D，连结DF. 因为AE?CF?1，DE?1，
所以AF?AD?2，而?A?60，即△ADF是正三角形.
39
BPC?EDF
又因为AE?ED?1, 所以EF?AD. ????2分 所以在图2中有A1E?EF，BE?EF.????3分
所以?A1EB为二面角A1?EF?B的平面角. 又二面角A1?EF?B为直二面角， 所以A1E?BE.又因为
BE?EF?E, 所以A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知A1E⊥平面BEP，BE?EF，如图，以E为原点，建立空间直角坐标系
zA1E?xyz，
则E(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，F(0,3,0).
EFCFCP1在图１中，连结DP.因为??，
FAPB2CBP1x所以PF∥BE，且PF?BE?DE. 2所以四边形EFPD为平行四边形.所以EF∥DP，且EF?DP.
??????????????AB?(2,0,?1)EA故点P的坐标为（1，3，0）. 所以1， BP?(?1,3,0)，1?(0,0,1).
y???????2x?z?0,?A1B?n?0,?不妨设平面A1BP的法向量n?(x,y,z)，则????即?令y?3，得n?(3,3,6). ???x?3y?0.??BP?n?0.?????????n?EA163?????????所以cos?n,EA1??. 故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为.
23|n||EA1|1?433e23e2?0，解得x0?e或x0??3e（舍去）（18）（Ⅰ）解：f?(x)?x?2e?. 由题意有f?(x0)?0即x0?2e?． x0x得f(e)?0即
121e?2e2?3e2lne?b?0，解得b??e2． 2212e23e2(x?e)(x?3e)2?(x?0)．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)?x?2ex?3elnx?(x?0)， f?(x)?x?2e?
22xx在区间(0,e)上，有f?(x)?0；在区间(e,??)上，有f?(x)?0． 故f(x)在(0,e)单调递减，在(e,??)单调递增，
于是函数f(x)在(0,??)上的最小值是f(e)?0．故当x?0时，有f(x)≥0恒成立．
aa?3e2(Ⅲ)解： F(x)?f?(x)??x??2e(x?0)．
xxa?3e2?2e?2a?3e2?2e，当且仅当x?a?3e2时等号成立， 当a?3e时，则F(x)?x?x2 40