②当a?1时，此时??0.所以f?(x)?0，
所以函数f(x)单调递增区间是(??,??). ?????10分 ③当?1?a?0时，此时??0.
1?1?a21?1?a2?x? 由f?(x)?0得； aa1?1?a21?1?a2 由f?(x)?0得x?,或x?.
aa1?1?a21?1?a2)和(,??), 所以当?1?a?0时,函数f(x)单调递减区间是(??,aa
1?1?a21?1?a2,). ?????12分 单调递增区间(aa
④当a??1时, 此时??0，f?(x)?0，所以函数f(x)单调递减区间是(??,??). ????13分
（19）（本小题满分14分） 解: （Ⅰ）依题意，c?2， b?1， 所以a?b?c?3.
22x2?y2?1. ?????4分 故椭圆C的方程为3?x?1,6?x?1,y?? （Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，由?x2解得. 23?y?1??3 不妨设A(1,66)，B(1,?)， 332? 因为k1?k3?662?3?3?2，又k?k?2k，所以k?1，
213222 所以m,n的关系式为
n?2?1，即m?n?1?0. ???7分 m?3 ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?k(x?1).
x2?y2?1整理化简得，(3k2?1)x2?6k2x?3k2?3?0. 将y?k(x?1)代入3
16
6k23k2?3 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?2,x1x2?. ???9分
3k?13k2?1又y1?k(x1?1)，y2?k(x2?1). 所以k1?k3?2?y12?y2(2?y1)(3?x2)?(2?y2)(3?x1) ??3?x13?x2(3?x1)(3?x2)?[2?k(x1?1)](3?x2)?[2?k(x2?1)](3?x1)
x1x2?3(x1?x2)?92kx1x2?(4k?2)(x1?x2)?6k?12
x1x2?3(x1?x2)?9?3k2?36k22k?2?(4k?2)?2?6k?123k?13k?1 ?3k2?36k2?3?2?923k?13k?12(12k2?6)???12分 ??2.12k2?6
所以2k2?2，所以k2?n?2?1，所以m,n的关系式为m?n?1?0.???13分 m?3综上所述，m,n的关系式为m?n?1?0. ???14分 （20）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）若A0:0,1,1,3,0,0，则A1:1,0,1,3,0,0；A2:2,1,2,0,0,0； A3:3,0,2,0,0,0； A4:4,1,0,0,0,0； A5:5,0,0,0,0,0． 若
A4:4,0,0,0,0，则
A3:3,1,0,0,0；
A2:2,0,2,0,0；
A1:1,1,2,0,0；
A0:0,0,1,3,0． ???4分
?1?1（Ⅱ）先证存在性，若数列A0:a0,a1,?,an满足ak?0及ai?0(0?i?k?1)，则定义变换T，变换T将数列A0变为数列T(A0)：a0?1,a1?1,?,ak?1?1,k,ak?1,?,an．
易知T和T是互逆变换． ???5分 对于数列n,0,0,?,0连续实施变换T（一直不能再作T变换为止）得
?1?1?1?1n,0,0,?,0?1T????1?1n?1,1,0,?,0T????1n?2,0,2,0,?,0T????1n?3,1,2,0,?,0
TT???????a0,a1,?,an，
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则必有a0?0（若a0?0，则还可作变换T?1）．反过来对a0,a1,?,an作有限次变换T，即可还原为数列
n,0,0,?,0，因此存在数列A0满足条件．
下用数学归纳法证唯一性：当n?1,2是显然的，假设唯一性对n?1成立，考虑n的情形．
假设存在两个数列a0,a1,?,an及b0,b1,?,bn均可经过有限次T变换，变为n,0,?,0，这里a0?b0?0，
a1?a2???an?b1?b2???bn?n
若0?an?n，则由变换T的定义，不能变为n,0,?,0；
若an?n，则a1?a2???an?0，经过一次T变换，有0,0,?,0,n???1,1,?,1,0 由于n?3，可知1,1,?,1,0（至少3个1）不可能变为n,0,?,0．
T?,a2?,?,an?所以an?0，同理bn?0令a0,a1,?,an???1,a1T?,?,bn?b0,b1,?,bn???1,b1?,b2T，
，
??bn??0，所以a1??a2????a????则ann?1?n?1，b1?b2???bn?1?n?1．
?,?,an??1?????n-1,0,?,0， 因为0,a1有限次T??1???0,b1?,?,bn??n-1,0,?,0，
有限次T故由归纳假设，有ai??bi?，i?1,2,?,n?1． 再由T与T互逆，有
T?,?,an??1,0a0,a1,?,an???1,a1T??1,0b0,b1,?,bn???1,b1?,?,bn?1，
，
所以ai?bi，i?1,2,?,n，从而唯一性得证． ???9分
（Ⅲ）显然ai?i(i?1,2,?,n)，这是由于若对某个i0，ai0?i0，则由变换的定义可知，ai0通过变换，不能变为
0．由变换T的定义可知数列A0每经过一次变换，Sk的值或者不变，或者减少k，由于数列A0经有限次变换T，
变为数列n,0,?,0时，有Sm?0，m?1,2,?,n，
所以Sm?mtm(tm为整数)，于是Sm?am?Sm?1?am?(m?1)tm?1，0?am?m， 所以am为Sm除以m?1后所得的余数，即am?Sm?[
Sm](m?1)．???13分 m?118
北京市西城区2012年高三一模试卷
数 学（理科） 2012.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U?R，集合A?{x|1?1}，则eUA?（ ） x（A）(0,1) （B）(0,1] （C）(??,0]?(1,??) （D）(??,0)?[1,??) 2．执行如图所示的程序框图，若输入x?2，则输出y的 值为（ ） （A）2 （B）5 （C）11 （D）23
?x?y?0,?3．若实数x，y满足条件?x?y?3?0,则2x?y的最大值为（ ）
?0?x?3,?（A）9 （B）3 （C）0 （D）?3
4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为123cm． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A）43cm （B）23cm （C）8cm （D）4cm
5．已知函数f(x)?sin?x?cos?x的最小正周期是π，那么正数??（ ） （A）2 （B）1 （C）
443222211 （D） 246．若a?log23，b?log32，c?log46，则下列结论正确的是（ ） （A）b?a?c （B）a?b?c （C）c?b?a （D）b?c?a
*7．设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn．若对?n?N，有S2n?3Sn，则q的取值范围是
（ ）
（A）(0,1] （B）(0,2) （C）[1,2) （D）(0,2)
8．已知集合A?{x|x?a0?a1?3?a2?3?a3?3}，其中ak?{0,1,2}(k?0,1,2,3)，且a3?0.则A中所有元素之和等于（ ）
（A）3240 （B）3120 （C）2997 （D）2889
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
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9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，
[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分
布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为
1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．
10．(x?2)的展开式中，x的系数是_____．（用数字作答） 11. 如图，AC为⊙O的直径，OB?AC，弦BN交AC
于点M．若OC?3，OM?1，则MN?_____．
63Bπ12. 在极坐标系中，极点到直线l:?sin(??)?2的距离是_____．
4CMONA?0?x?c,?x,13. 已知函数f(x)?? 其中c?0．那么f(x)的零点
2??x?x,?2?x?0,1是_____；若f(x)的值域是[?,2]，则c的取值范围是_____．
414. 在直角坐标系xOy中，动点A，B 分别在射线y?123x(x?0)和y??3x(x?0)上运动，且△OAB的面3积为1．则点A，B的横坐标之积为_____；△OAB周长的最小值是_____． 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
在△ABC中，已知sin(A?B)?sinB?sin(A?B)． （Ⅰ）求角A；
????????????（Ⅱ）若|BC|?7，AB?AC?20，求|AB?AC|．
16.（本小题满分13分）
乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（Ⅲ）求比赛局数的分布列. 17．（本小题满分14分）
如图，四边形ABCD与BDEF均为
菱形， ?DAB??DBF?60?，且FA?FC． （Ⅰ）求证：AC?平面BDEF； （Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；
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ADBCEF