（Ⅲ）求二面角A?FC?B的余弦值．
18.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?eax?(?a?1)，其中a??1.
（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)的单调区间.
19.（本小题满分14分）
axx2y25已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，定点M(2,0)，椭圆短轴的端点是B1，B2，且
3abMB1?MB2.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点.试问x轴上是否存在定点P，
使PM平分?APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分13分）
对于数列An:a1,a2,?,an(ai?N,i?1,2,?,n)，定义“T变换”：T将数列An变换成数
列Bn:b1,b2,?,bn，其中bi?|ai?ai?1|(i?1,2,?,n?1)，且bn?|an?a1|，这种“T变换”记作Bn?T(An).继续对数列Bn进行“T变换”，得到数列Cn，?，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）试问A3:4,2,8和A4:1,4,2,9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到
的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）求A3:a1,a2,a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件； （Ⅲ）证明：A4:a1,a2,a3,a4一定能经过有限次“T变换”后结束．
21
北京市西城区2012年高三一模试卷 数学（理科）参考答案及评分标准
2012.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. C； 2. D； 3. A； 4.A； 5. B； 6. D； 7. A； 8. D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.54； 10.?160； 11.1； 12.2； 13.?1和0，(0,4]； 14.注：13题、14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：原式可化为 sinB?sin(A?B)?sin(A?B)?2cosAsinB． ??????3分
因为B?(0,π)， 所以 sinB?0， 所以 cosA?因为A?(0,π)， 所以 A?3，2(1?2). 21． ??????5分 2π． ??????6分 3????2????2????2????????（Ⅱ）解：由余弦定理，得 |BC|?|AB|?|AC|?2|AB||AC|?cosA．??????8分
????????????????????????2????2因为 |BC|?7，AB?AC?|AB||AC|?cosA?20， 所以 |AB|?|AC|?89． ???10分 ????????2????2????2????????因为 |AB?AC|?|AB|?|AC|?2AB?AC?129， ??????12分
????????所以 |AB?AC|?129． ??????13分
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是
记“甲以4比1获胜”为事件A，则P(A)?C4()()（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.
31． ??????1分 2123124?311?．??????4分 2815?315， ??????6分 ?2232531316?31 乙以4比3获胜的概率为P2?C6()()， ??????7分 ?222325所以 P(B)?P． ??????8分 ?P?1216 因为，乙以4比2获胜的概率为P1?C5()()3312（Ⅲ）解：设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7．
141P(X?4)?2C4()?， ??????9分 428
22
1111?， ??????10分
22241315?215 P(X?6)?2C3()()??， ??????11分 5222161316?315 P(X?7)?2C3()()??． ??????12分 62221634?3 P(X?5)?2C34()()比赛局数的分布列为：
X
P
17.（本小题满分14分）
4
1 85 1 46 5 167 5 16 ??????13分
（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．
因为 四边形ABCD为菱形，所以AC?BD， 且O为AC中点． ??????1分
又 FA?FC，所以 AC?FO． ???3分 因为 FO?BD?O，
所以 AC?平面BDEF． ??????4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD//BC，DE//BF，
所以 平面FBC//平面EAD． ??????7分 又FC?平面FBC，所以FC// 平面EAD． ??????8分 （Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且?DBF?60?，所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以FO?BD，故FO?平面ABCD．
由OA,OB,OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz． ??????9分 设AB?2．因为四边形ABCD为菱形，?DAB?60?，则BD?2，所以OB?1，
OA?OF?3．
所以 O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),C(?3,0,0),F(0,0,3)．
????????所以 CF?(3,0,3)，CB?(3,1,0)．
??????n?CF?0,设平面BFC的法向量为n=(x,y,z)，则有???? ???n?CB?0.所以 ??3x?3z?0,?3x?y?0． 取x?1，得n?(1,?3,?1)． ??????12分
23
易知平面AFC的法向量为v?(0,1,0)． ??????13分
由二面角A?FC?B是锐角，得 cos?n,v??n?vnv?15． 5所以二面角A?FC?B的余弦值为18.（本小题满分13分）
15． ??????14分 5（Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?ex?(?2)，f?(x)?ex?(?2?由于f(1)?3e，f?(1)?2e，
1x1x1)． ??????2分 x2所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是2ex?y?e?0． ??????4分 （Ⅱ）解：f?(x)?aeax(x?1)[(a?1)x?1]，x?0． ??????6分 2x① 当a??1时，令f?(x)?0，解得 x??1．
f(x)的单调递减区间为(??,?1)；单调递增区间为(?1,0)，(0,??)．?????8分
1． a?111② 当?1?a?0时，f(x)的单调递减区间为(??,?1)，(,??)；单调递增区间为(?1,0)，(0,)
a?1a?1当a??1时，令f?(x)?0，解得 x??1，或x???????10分
③ 当a?0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间． ??????11分 ④ 当a?0时，f(x)的单调递减区间为(?1,0)，(0,11)；单调递增区间为(??,?1)，(,??)． a?1a?1 ??????13分
19.（本小题满分14分）
5a2?b2b2b22?1?（Ⅰ）解：由 ?e?， 得 ?. ??????2分
9a2a2a3依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b?2，故a?3. ??????4分
x2y2??1. ??????5分 所以椭圆C的方程是94（Ⅱ）解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x?my?2.
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去x得 (4m?9)y?16my?20?0. ??????7分
22 24
?16m?20，. ??????8分 yy?12224m?94m?9若PF平分?APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，
所以 y1?y2?所以kPA?kPB?0. ??????9分 设P(a,0)，则有
y1y?2?0.将 x1?my1?2，x2?my2?2代入上式， x1?ax2?a整理得
2my1y2?(2?a)(y1?y2)?0，所以 2my1y2?(2?a)(y1?y2)?0.?????12分
(my1?2?a)(my2?2?a)?16m?20，代入上式，整理得 (?2a?9)?m?0. ???13分 yy?124m2?94m2?99由于上式对任意实数m都成立，所以 a?.
29 综上，存在定点P(,0)，使PM平分?APB. ??????14分
2将 y1?y2?20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：数列A3:4,2,8不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；
2,0,2；?．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ??????2分
数列A4:1,4,2,9能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ??????3分 （Ⅱ）解：A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1?a2?a3．??????4分
若a1?a2?a3，则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ?????5分
当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A3)为常数列，则A3为常数列”． 当a1?a2?a3时，数列T(A3):a1?a2,a2?a3,a1?a3．
由数列T(A3)为常数列得a1?a2?a2?a3?a1?a3，解得a1?a2?a3，从而数列A3也 为常数列．
其它情形同理，得证．
在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数列． ??????8分
所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1?a2?a3．
（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列T(An)的最大项一定不大于数列An的最大项，其中n?3”．
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