二面角C?PE?A的余弦值为?6． 6
⑶连结AC，设AB?a，
1a?2aa3VP?ABCD???a?a??4，∴a?2．
322∵△PAC是直角三角形，
1∴AF?PC?3．
2
17．（题17）
某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，或多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．
统计信息 汽车行驶 路线 公路1 公路2 不堵车的情况下到达所需时间（天） 2 1 [堵车的情况下到达所需堵车的概率 时间（天） 1 10运费（万元） 3 4 1.6 1 0.8 2⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为?（万元），求?的分布列和数学期望E?； ⑵假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ （注：毛利润?销售收入?运费） 【解析】 ⑴汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润??30?1.6?28.4万元
堵车时公司获得的毛利润??30?1.6?1?27.4万元 ∴汽车走公路1时获得的毛利润?的分布列为
? 28.4 27.4 P
9 101 1091 ?27.4??28.3万元
1010 ⑵设汽车走公路2时获得的毛利润为?万元 不堵车时获得的毛利润??30?0.8?1?30.2万元 堵车时的毛利润??30?0.8?2?27.2万元 ∴汽车走公路2时获得的毛利润?的分布列为
? 30.2 1 P 2
11∴E??30.2??27.2??28.7万元
22∴E??E?
∴选择公路2可能获利更多．
∴E??28.4?[27.2 1 2 18．（题18）
6
1已知函数f(x)?x3?ax2?(a2?1)x?b(a,b?R)
3⑴若x?1为f(x)的极值点，求a的值；
⑵若y?f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x?y?3?0， ①求f(x)在区间[?2,4]上的最大值；
②求函数G(x)?[f?(x)?(m?2)x?m]e?x(m?R)的单调区间． 【解析】 ⑴f?(x)?x2?2ax?a2?1．
∵x?1是极值点，
∴f?(1)?0，即a2?2a?0． ∴a?0或2．
⑵∵(1,f(1))在x?y?3?0上．∴f(1)?2
1∵(1,2)在y?f(x)上，∴2??a?a2?1?b
32又f?(1)??1，∴1?2a?a?1??1
8∴a2?2a?1?0，解得a?1,b?
318∴f(x)?x2?x2?,f?(x)?x2?2x
33①由f?(x)?0可知x?0和x?2是f(x)的极值点．
84∵f(0)?,f(2)?,f(?2)??4,f(4)?8
33∴f(x)在区间[?2,4]上的最大值为8． ②G(x)?(x2?mx?m)e?x
G?(x)?(2x?m)e?x?e?x(x2?mx?m)?e?x[?x2?(2?m)x] 令G?(x)?0，得x?0,x?2?m
当m?2时，G?(x)≤0，此时G(x)在(??,??)单调递减 当m?2时： (??,2?m) (2?m,0) x 2?m G?(x) + 0 ? G(x) 极小值 ↘ ↗ (0,??) 0 0 ? 极大值 ↘ 此时G(x)在(??,2?m)?(0,??)上单调递减，在(2?m,0)上单调递增． 当m?2时： (??,0) (0,2?m) (2?m,??) x 0 2?m G?(x) 0 + 0 ? ? G(x) 极小值 极大值 ↘ ↗ ↘ 此时G(x)在(??,0)?(2?m,??)上单调递减，在(0,2?m)上单调递增，综上所述：当m?2时，G(x)在(??,??)单调递减；
m?2时，G(x)在(??,2?m)?(0,??)单调递减，在(2?m,0)单调递增； m?2时，G(x)在(??,0)?(2?m,??)单调递减，在(0,2?m)单调递增．
19．（题19）
6x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为．
3ab
7
⑴若原点到直线x?y?b?0的距离为2，求椭圆的方程； ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45?的直线l和椭圆交于A,B两点． i)当|AB|?3，求b的值；
????????????? ii)对于椭圆上任一点M，若OM??OA??OB，求实数?,?满足的关系式．
【解析】 ⑴∵d?b2?2，∴b?2．
c22c6∵e??，∴2?．
a3a32∵a2?b2?c2，∴a2?4?a2，解得a2?12,b2?4．
322xy椭圆的方程为??1．
124⑵
c62i)∵?，∴a2?3b2,c2?a2?2b2，椭圆的方程可化为
a33222x?3y?3b …………①
易知右焦点F(2b,0)，据题意有AB：y?x?2b ………② 由①，②有：4x2?62bx?3b2?0 …………③ 设A(x1,y1),B(x2,y2)，
72b2?48b224b2|AB|?(x2?x1)?(y2?y1)?(1?1)?2?2?3b?3
424∴b?1
?????????????ii)显然OA与OB可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM，有且只
?????????????有一对实数?,?，使得等式OM??OA??OB成立． 设M(x,y)，
222∵(x,y)??(x1,y1)??(x2,y2)，∴x??x1??x2,y??y1??y2
又点M在椭圆上，∴(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2 ……………④
32b3b2由③有：x1?x2? ,x1x2?24则x1x2?3y1y2?x1x2?3(x1?2b)(x2?2b)?4x1x2?32b(x1?x2)?6b2?3b2?9b2?6b2?0
……………⑤
22又A,B在椭圆上，故有x12?3y12?3b2,x2?3y2?3b2 …………⑥
将⑥，⑤代入④可得：?2??2?1．
20．（题20）
已知数列{an}满足a1?1，点(an,an?1)在直线y?2x?1上． ⑴求数列{an}的通项公式； ⑵若数列{bn}满足b1?a1,bn111?????(n≥2,n?N*)，求bn?1an?(bn?1)an?1的值； ana1a2an?1 8
⑶对于⑵中的数列{bn}，求证：(1?b1)(1?b2)?(1?bn)?10b1b2?bn(n?N*)． 3【解析】 ⑴∵点(an,an?1)在直线y?2x?1上，∴an?1?2an?1
∴an?1?1?2(an?1)，{an?1}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴an?2n?1(n?N?)
b111⑵∵n?????(n≥2且n?N?)，
ana1a2an?1∴
bn?111bb111??????，n?1?n?
an?1ananan?1a1a2an?1an∴bn?1an?(bn?1)an?1?0(n≥2且n?N?)； 当n?1时，b2a1?(b1?1)a2??3．
b?1an⑶由⑵知n?(n≥2),b2?a2
bn?1an?1?1??1??1?∴?1???1????1?? ?b1??b2??bn?b?11b1?1b2?1b?1bn?1b?1b2?1?1????n??????n?1??bn?1 b1b2bnb1b2b3bnbn?1aab1b?1a2a3111??1?????n?1?n?bn?1?2?n?1?2(????) b1b2a3a4anan?1an?1a1a2an12k?1?12k?111∵k≥2时，k?k??2(?)
2?1(2?1)(2k?1?1)(2k?1)(2k?1?1)2k?12k?1?111111∴?????1????n a1a2an32?1??11?1??1?5?1?1 ?1?2??2?3?????1?2???n?????， n?1n?1?2?12?1???32?1?3??2?12?1??1??1??1?10∴?1???1????1???， ?b1??b2??bn?310即(1?b1)(1?b2)?(1?bn)?b1b2?bn．
3北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷（理工类） 2012.3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数
10i? 1?2iA. ?4?2i B. 4?2i C. 2?4i D. 2?4i
2. 已知平面向量a,b满足a?(a+b)=3，且a=2,b=1，则向量a与b的夹角为
9
A.
?????? B. C. D. 633 6?3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2an?1(n?N)，则a5?
A. ?16 B. 16 C. 31 D. 32
4. 已知平面?，直线a,b,l，且a??,b??，则“l?a且l?b”是“l??”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试， 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）
A. 16 B. 24 C. 32 D. 48
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x?R，都有f(x?2)?f(x).当0?x?1时，f(x)?x.
若直线y?x?a与函数y?f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是 A.0 B. 0或?21111 C. ?或? D. 0或? 24247. 某工厂生产的A种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一
年A种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A种产品 征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年 增加了
70?x%元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在A种产品经营中收取的
1?x% 管理费不少于14万元，则x的取值范围是
A. 2 B. 6.5 C. 8.8 D. 10
228.已知点集A??(x,y)x?y?4x?8y?16?0?，B?(x,y)y?x?m?4,m是常数，点集A所表示的平面
??区域与点集B所表示的平面区域的边界的交点为M,N.若点D(m,4)在点集A所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN的面积的最大值是
A. 1 B. 2 C. 22 D. 4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.
x2?y2?1，9. 已知双曲线的方程为3率为 ，其焦点到渐近线的为 .
10. 已知某几何体的三视图如图所示，为 .
开始 输入k 则此双曲线的离心距
离
则该几何体的体积
S=0，i=1 1S?S+ i(i?1)3 3
（第10
i?k?
1 2 正视图 2 1 1 侧视图
是 i=i+1 否 10 输出S 结束 俯视图