证明：记数列An中最大项为max(An)，则0?ai?max(An)． 令Bn?T(An)，bi?ap?aq，其中ap?aq．
因为aq?0， 所以bi?ap?max(An)，故max(Bn)?max(An)，证毕．??????9分 现将数列A4分为两类．
第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，
max(B4)?max(A4)?1．
第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)?max(A4)． 下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a?0)．（其它情形同理） ① 当数列A4中只有一项为0时，
若A4:0,a,b,c(a?b,a?c,bc?0)，则T(A4):a,a?b,|b?c|,c，此数列各项均不为0 或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若A4:0,a,a,b(a?b,b?0)，则T(A4):a,0,a?b,b；T(T(A4)):a,a?b,|a?2b|,a?b 此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若A4:0,a,b,a(a?b,b?0)，则T(A4):a,a?b,a?b,b，此数列各项均不为0，为第一类数列； 若A4:0,a,a,a，则T(A4):a,0,0,a；T(T(A4)):a,0,a,0；T(T(T(A4))):a,a,a,a， 此数列各项均不为0，为第一类数列．
② 当数列A4中有两项为0时，若A4:0,a,0,b(a?b?0)，则T(A4):a,a,b,b，此数列 各项均不为0，为第一类数列；
若A4:0,a,b,0(a?b?0)，则T(A):a,a?b,b,0，T(T(A)):b,|a?2b|,b,a，此数列 各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．
③ 当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0,a,0,0，则T(A):a,a,0,0，
T(T(A)):0,a,0,a，T(T(T(A))):a,a,a,a，此数列各项均不为0，为第一类数列．
总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．
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又因为各数列的最大项是非负整数，
故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束． ??????13分 201年石景山区高三统一测试
数学（理科）
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M?{x|x?2x?3?0},
A．(?1,1)
B．(1,3)
2N?{x|log1x?0}2，则M?N等于（ ）
D．(?1,0)
C．(0,1)
2?i2．在复平面内，复数1?i对应的点位于（ ）
A．第一象限
B． 第二象限
C．第三象限
D．第四象限
?x?2cos?,?y?2sin??2圆?的圆心坐标是（ ）
A．(0,2)
B．(2,0)
C．(0,?2)
D．(?2,0)
设m,n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若m//n,m//?,则n//? C．若m//?,n//?,则m//n
5．执行右面的框图，若输入的N是6， 则输出p的值是（ ）
A．120 C．1440
B．720 D．5040
B．若???,???,则?//? D．若m??,n//?,则m?n
1(x2?)nx展开式中的所有二项式系数和 6．若
的常数项为 （ ）
27
为512，则该展开式中
A．?84 C．?36
B．84 D．36
7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
8?A．
433
8?B．
423
238?3 C．
32D．3
8．如图，已知平面????l，A、B是l上的两个 内，且DA??,CB??,
AD?4，AB?6,BC?8，在平面?上有一个 动点P，使得?APD??BPC，则P?ABCD体积 的最大值是（ ）
A．243 B．16
C．48
? P A D B
点，C、D在平面??C
D．144
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
????a?(cos?,1),b?(1,3cos?)9．设向量，且a//b，则cos2?= ．
10．等差数列
?an?前9项的和等于前4项的和．若a4?ak?0，则k =________．
D A B E 11.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，CE与圆 相切交AB延长线上于点E，若DF?CF?22，
F AF:FB:BE?4:2:1，则线段CE的长为 ．
C 1??x?a,x?,??2f(x)???logx,x?12??2的最小值为?1，则实数a的取值范围是 ． 12．设函数
222O:x?y??13．如图，圆内的正弦曲线y?sinx
与
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x轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机
往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的 概率是 ． 14．集合
U??(x,y)|x?R,y?R?,M??(x,y)|x?y?a?,P??(x,y)|y?f(x)?,
xy=logaxy?a 现给出下列函数：①，②，③y?sin(x?a)，④y?cosax，
若0?a?1 时，恒有
P?CUM?P,则所有满足条件的函数f(x)的编号是 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分） 在?ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且(2a?c)cosB?bcosC． （Ⅰ）求角B的大小；
cosA?（Ⅱ）若
2,a?22，求?ABC的面积.
（本小题满分13分）
11 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为3，乙每次投中的概率为2，每人分别进行三
次投篮．
（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率． 17 ．（本小题满分14分）
如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC?AC,BC?AC?2，
AA1?3，D为AC的中点.
B1 B
（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1?BD?C的余弦值； （Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得
A1
C
C1 D A
CP?面BDC1？请证明你的结论.
18．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?x?2alnx.
2 （Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；
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（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
g(x)? （Ⅲ）若函数19．（本小题满分13分）
2?f(x)x在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围.
x2y2?2?12b 已知椭圆a（a?b?0）右顶点与右焦点的距离为3?1，
短轴长为22. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过左焦点
F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的
32面积为4，求直线AB的方程．
20．（本小题满分13分） 若数列
2{An}满足
An?1?An，则称数列
{An}为“平方递推数列”．已知数列
{an}a,a中，a1?2，点(nn?1)在
2f(x)?2x?2x的图像上，其中n 为正整数． 函数
（Ⅰ）证明数列
{2an?1}是“平方递推数列”，且数列
{lg(2an?1)}为等比数列；
，求数列
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为通项及
Tn，即
Tn?(2a1?1)(2a2?1)?（2an?1){an}的
Tn关于n的表达式；
，求数列
（Ⅲ）记
bn?log2an?1Tn?bn?的前n项和Sn，并求使Sn?2012
的n的最小值．
2012年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号 答案 题号 9 答案 ?1 2 3 4 5 6 7 8 B 10 D 11 A D 12 B 13 B A 14 ①②④ C 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 13 10 7 a??12 4? 3三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为(2a?c)cosB?bcosC，由正弦定理，得
(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC． ????2分 ∴
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