题图） （第11题图）
11. 执行如图所示的程序框图，若输入k的值是4，则输出S的值是 . 12.在极坐标系中，曲线??23sin?和?cos??1相交于点A,B，则线段AB的中点E 到极点的距离是 .
?1x3x?2,?()?,13.已知函数f(x)??2若函数g(x)?f(x)?k有两个不同的零点，则实数k的取值范围4??log2x,0?x?2.是 .
1的圆在△ABC 4沿着△ABC的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M至少与△ABC的一边相切，则点M到△ABC顶 内，
点的最短距离是 ，点M的运动轨迹的周长是 .
14.已知△ABC中， ?C?90?,AC?3,BC?4.一个圆心为M，半径为
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. （本小题满分13分） 已知函数f(x)?cos(x?).
π4 （Ⅰ）若f(?)?72，求sin2?的值； 10?????ππ?，求函数在区间?,?上的最大值和最小值. g(x)??2??63? （II）设g(x)?f?x??f?x?
16. （本小题满分13分）
某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.
频率 （Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b的值； 区间 人数 [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 50 a 350 300 b 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 组距 （II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成
绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（Ⅲ）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的
分数
O75 80 85 90 95 100 分布列与数学期望.
17. （本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，?ABD=90?，EB?平面ABCD，EF//AB，AB=2，
EB=3,EF=1，BC=13，且M是BD的中点.
（Ⅰ）求证：EM//平面ADF； （Ⅱ）求二面角D-AF-B的大小； （Ⅲ）在线段EB上是否存在一点P， 使得CP与AF所成的角为30?？ 若存在，求出BP的长度；若不
F E
D M 11
C A B
存在，请说明理由.
18. （本小题满分13分）
eax,a?R. 设函数f(x)?2x?1 （Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)单调区间. 19. （本小题满分14分）
x2y2 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?2,0)，F2(2,0).点M(1,0)与椭圆短轴的两个端
ab点的连线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点N的坐标为(3,2)，点P的坐标为(m,n)(m?3).过点M任作直线l与椭圆 C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，若 k1?k3?2k2，试求m,n满足的关系式.
20．（本小题满分13分）
已知各项均为非负整数的数列A0:a0,a1,?,an (n?N?)，满足a0?0，a1???an?n．若存在最小的正整数k(?k1，)则可定义变换T，使得ak?k，变换T将数列A0变为数列
T(A0):a0?1,a1?1,?,ak?1?1,0,ak?1,?,an．设Ai?1?T(Ai)，i?0,1,2?．
（Ⅰ）若数列A0:0,1,1,3,0,0，试写出数列A5；若数列A4:4,0,0,0,0，试写出数列A0； （Ⅱ）证明存在唯一的数列A0，经过有限次T变换，可将数列A0变为数列n,0,0,?,0；
?????n个 （Ⅲ）若数列A0，经过有限次T变换，可变为数列n,0,0,?,0．设Sm?am?am?1???an，m?1,2,?,n，
?????n个求证am?Sm?[SmSS](m?1)，其中[m]表示不超过m的最大整数． m?1m?1m?1北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷（理工类） 2012.3
一、选择题： 题号 答案 二、填空题：
12
（1） A （2） C （3） B （4） B （5） C （6） D （7） D （8） B 题号 答案 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 23 31 3 23 42 3(,1) 424 9 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为f(?)?cos(??)?π472， 10 所以
272， (cos??sin?)?210 所以 cos??sin??27. 52 平方得，sin??2sin?cos??cos?= 所以 sin2??49， 2524. ?????6分 25??π?ππ=cos(x?)?cos(x?) ?2?44（II）因为g(x)?f?x??f?x? = =
22(cosx?sinx)?(cosx?sinx) 221(cos2x?sin2x) 21 =cos2x. ?????10分
2 当x????ππ??π2π?,?时，2x???,?. ?63??33? 所以，当x?0时，g(x)的最大值为 当x?1； 2π1时，g(x)的最小值为?. ?????13分 34（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题意，a?0.04?5?1000?200,b?0.02?5?1000?100. ?????4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则
x350?300?100，解得：x=30， ?401000 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ?????7分
（Ⅲ）依题意，X的取值为0，1，2，新课标第一网
2112C10C10C30C303529，P(X?1)?，， P(X?0)?2??P(X?2)??22C4052C4013C4052所以X的分布列为
X
0 13
1 2
P EX?0?3 525 1329 52352933?1??2??，所以X的数学期望为. ?????13分 52135222（17）（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN,NF.
在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以MN//AB,MN=1 又因为EF//AB,EF=AB，
2 所以MN//EF且MN=EF.
所以四边形MNFE为平行四边形， 所以EM//FN.
A 又因为FN?平面ADF，EM?平面ADF，
F E
1AB， 2D N B M C 故EM//平面ADF. ????? 4分
解法二：因为EB?平面ABD，AB?BD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz. ?????1分 由已知可得 B(0,0,0),A(0,2,0),D(3,0,0),
3C(3,-2,0),E(0,0,3),F(0,1,3),M(,0,0)2z ????????3????F E 3)（Ⅰ）EM=(,0,-3),AD=(3,-2,0)， AF=(0,-1,. ?????2分 2x 设平面ADF的一个法向量是n?(x,y,z).
????D ??n?AD?0,??3x-2y=0, 由????得??M
??-y+3z=0.?n?AF?0,?y B A 令y=3，则n?(2,3,3). ?????3分 ????3又因为EM?n?(,0,-3)?(2,3,3)=3+0-3=0，
2???? 所以EM?n，又EM?平面ADF，所以EM//平面ADF. ?????4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n?(2,3,3). 因为EB?平面ABD，所以EB?BD.
又因为AB?BD，所以BD?平面EBAF.
???? 故BD?(3,0,0)是平面EBAF的一个法向量.
C ????????BD?n1=，又二面角D-AF-B为锐角， 所以cos ???????? 不妨设P(0,0,t)（0?t?3），则PC=(3,-2,-t),AF=(0,-1,3). 14 ????????PC?AF2-3t???????? 所以cos 35eaxeax(ax2?2x?a),所以f?(x)?解：因为f(x)?2. (x2?1)2x?1ex(x2?2x?1)ex （Ⅰ）当a?1时, f(x)?2,f?(x)?, 22(x?1)x?1 所以f(0)?1, f?(0)?1. 所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x?y?1?0. ?????4分 eax(ax2?2x?a)eax?2(ax2?2x?a)， ?????5分 （Ⅱ）因为f?(x)?222(x?1)(x?1) （1）当a?0时,由f?(x)?0得x?0；由f?(x)?0得x?0. 所以函数f(x)在区间(??,0)单调递增, 在区间(0,??)单调递减. ?????6分 （2）当a?0时, 设g(x)?ax?2x?a，方程g(x)?ax?2x?a?0的判别式 22??4?4a2?4(1?a)(1?a), ?????7分 ①当0?a?1时，此时??0. 1?1?a21?1?a2 由f?(x)?0得x?,或x?； aa1?1?a21?1?a2?x? 由f?(x)?0得. aa1?1?a21?1?a2)和(,??), 所以函数f(x)单调递增区间是(??,aa 1?1?a21?1?a2,). ?????9分 单调递减区间(aa 15