2sinAcosB?sinCcosB?sinBcosC?sin(B?C)?sinA．??4分
∵ 0?A??, ∴sinA?0，
cosB? ∴
1?B?2． 又∵ 0?B?? ， ∴ 3． ????6分
ab?（Ⅱ）由正弦定理sinAsinB，得b?6， ????8分
cosA? 由
2??B?A?2可得3，可得 4，由
sinC?
6?24 ， ????11分
s? ∴
116?23?3absinC??2?6??2242． ????13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）?的可能取值为：0，1，2，3． ????1分
84?2?1?1??2?P(??0)?C???;P(??1)?C3?;????279 ?3??3??3?
033221?1??2?3?1?P(??2)?C32?????;P(??3)?C3???.27 9?3??3??3?
?的分布列如下表：
23? 0 P 1 2 3 842127 9 9 27 ????4分
E??0?
8421?1??2??3??1279927． ????5分
373?1?1?C3????2?8． ????8分 （Ⅱ）乙至多投中2次的概率为
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1，
乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2，
则A?B1?B2,B1,B2为互斥事件． ????10分
31
8341
P(A)?P(B1)?P(B????12)?278986． 1 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为6． ????13分
17．（本小题满分14分）
（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD． …………1分 ∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点． 又D是AC的中点，∴OD//AB1． ∵AB1?面BDC1，OD?面BDC1，BDC1． ????4分
z （II）解：如图，建立空间直角坐标系， BB 则C1（0，0，0），B（0，3，2）， 1 C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， C Cy ????
C?(0,3,2)1 D 1B，
x AA ????C?1D?(1,3,0)， ????5分
设
n??(x1,y1,z1)是面BDC1的一个法向量，则
????????n?C??n??????1BCD??0,?3y1?2z1?0,?11?0?即?x1?3y1?0n?(1,?,)1，取
32???易知
C??. ????7分 1C?(0,3,0)是面ABC的一个法向量. ????8分
cosn?,???C??n?????C??1C21C?
n?????C????1C7.
2 ∴二面角C1—BD—C的余弦值为7. ????9分
（III）假设侧棱AA1上存在一点P使得???CP?⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 CP?(2,y?3,0)， ????10分
???????????CP?C1B?0,?3(y 则
?????CP??????C1D??0??3)?0,，即
?2?3(y?3)?0. ????12分
??y?3,? 解之??y?73∴方程组无解. ????13分
32
AB1//
面
∴
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. ????14分 18．（本小题满分14分）
2a2x2?2af'(x)?2x??xx解：（Ⅰ） ????1分
由已知f'(2)?1，解得a??3. ????3分 （II）函数f(x)的定义域为(0,??).
（1）当a?0时, f'(x)?0，f(x)的单调递增区间为(0,??)； ??5分
（2）当a?0时
f'(x)?2(x??a)(x??a)x.
当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下：
x (0,?a) ?a (?a,??) + f'(x) - f(x) 0 极小值 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,?a)；
单调递增区间是(?a,??). ????8分
g(x)? （II）由
222a?x2?2alnxg'(x)??2?2x?xxx，????9分 得
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数， 则g'(x)?0在[1,2]上恒成立，
22a?2x??02x即x在[1,2]上恒成立. ?a? 即
12?xx在[1,2]上恒成立.
????11分
h(x)?令
111?x2h'(x)??2?2x??(2?2x)?0xxx，在[1,2]上，
33
所以h(x)在[1,2]为减函数.
h(x)min?h(2)??72,
a?? 所以
72. ????14分
19．（本小题满分13分）
?a?c?3?1???b?2?a2?b2?c2?解：（Ⅰ）由题意，? -------1分
解得a?3,c?1. ------------2分
x2y2??1.32 即：椭圆方程为 ------------3分
AB?43，
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时， 此时
S?AOB?3不符合题意故舍掉； -----------4分
当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y?k(x?1)，
2222y(2?3k)x?6kx?(3k?6)?0. ------------6分 代入消去得：
??6k2x?x???122?3k2?2?xx?3k?612A(x1,y1),B(x2,y2)?2?3k2， -----------7分 ? 设 ，则43(k2?1)AB?2?3k2. ------------9分 所以
d?原点到直线的AB距离
k1?k2，
11k43(k2?1)S?ABd?22222?3k1?k所以三角形的面积. S?由
32?k2?2?k??24， ------------12分
所以直线
lAB:2x?y?2?0或
lAB:2x?y?2?0. ---------13分
20．（本小题满分13分）
34
解：（I）因为 所以数列
an?1?2an2?2an,2an?1?1?2(2an2?2an)?1?(2an?1)2
{2an?1}是“平方递推数列” . --------2分
，
由以上结论 所以数列 （II）
lg(2an?1?1)?lg(2an?1)2?2lg(2an?1){lg(2an?1)}为首项是lg5公比为2的等比数列. --------3分
n?1lg(2an?1)?[lg(2a1?1)]?2n?1?2n?1lg5?lg52，
n?11n?12an?1?52,an?(52?1)2 . --------5分
lgTn?lga(12??1?)?Tn?52nalng?(2?n1?)(2，
1)lg5?1 . --------7分
lgTn(2n?1)lg51bn??n?1?2?n?1lg(2an?1)2lg52
（III）
Sn?2n?2?2n?2?12n?1. --------10分
n?
1?10072n
1?20122n?1
nmin?1007. --------13分
[注：若有其它解法，请酌情给分]
北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）
数学 （理科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若a，b?R，i是虚数单位，且a?(b?2)i?1?i，则a?b的值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）若集合A?{0,m}，B?{1,2}，则“m?1”是“A?B?{0,1,2}”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
35
2