微积分初步
第一讲函数、极限和连续部分
一、教学内容与教学要求 二、学习重难点解析 三、典 型 例 题
一、教学内容与教学要求
（一）教学内容 1．函数
常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。 2．极限
极限的定义，极限的四则运算。 3．连续函数
连续函数的定义和四则运算，间断点。 （二）教学要求
1．了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。
2．了解极限概念，会求简单极限。
3．了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点。
二、学习重难点解析
（一）关于函数的概念 1．组成函数的要素:
（1）定义域:自变量的取值范围D；
（2）对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f。
函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量。因此，这两个要素一旦确定，函数也就随之确定。所以说，两个函数相等（即f(x)=g(x)）的充分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等。若两者之一不同，就是两个不同的函数。
2．函数定义域的确定
对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定： （1）函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零； （2）函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负； （3）函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零；
（4）如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公共部分； （5）对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集； （6）对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域。 3．函数的对应关系
函数的对应关系f或（）f表示对自变量x的一个运算，通过f或（）f把x变成了y，例如y=f(x)=2x3-5x+1，
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则f代表算式
f( )=2( )-5( )+1
括号内是自变量的位置，运算的结果得到因变量的值。
（二）关于函数的基本属性
函数的基本属性是指函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性。了解函数的属性有助于我们对函数的研究。
理解函数属性中需要注意下面的问题：
1．关于函数的奇偶性：讨论函数的奇偶性，其定义域必须是关于原点对称的的区间，函数奇偶性的判别方法是函数奇偶性定义和奇偶函数的运算性质，即：
奇函数±奇函数=奇函数 奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数×偶函数=偶函数 并记住常见的奇函数有x2．关于函数的单调性
单调函数是与相应的区间相联系的，例如，函数y=x在(-∞,0)是单调递减的，在(0,+∞)是单调递增的，在(-∞,+∞)内不是单调函数。
单调递增（或递减）函数的图形是随着自变量的增大在上升（或下降）的。 （三）函数的函数—函数的复合运算
我们可以这样理解复合函数的概念：当一个函数的自变量用另一个函数的因变量代替，就可能产生复合函数，例如在函数y=lgx中，用u=φ(x)=1-x替换x，即得：y=f(u)=f(φ(x))=lg(1-x)
这里的函数y=lg(1-x2)可以看成由函数lgx和函数1-x2复合而成的。但是要注意，不是任何两个函数都可以构成复合函数的，例如，由f?x??f???x???x?1和??x??1?x就不能构成复合函数，因为
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2x+1
,sinx；常见的偶函数有x,cosx。
2x
2
2
2
?1?x??1?2?x，而负数“-x”开方是没有意义的。
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复合函数的复合环节可以多于两个，例如，y=u2,u=sinv,v=1-2x可复合为函数。通过课程的学习我们知道，由若干个简单函数，经过有限次的四则运算和复合步骤可以产生许许多多的函数——初等函数。反过来，对于一个比较复杂的函数，在对它进行研究时，常常要将其分解成若干个组成它的函数。例如：
y?lnx?1?x?2?
v,v?1?x
2可以分解为y?lnu,u?x?（四）关于对极限的概念的理解
极限概念作为微积分的基础，在高等数学中占有很重要的地位，本章中连续性的概念和第二章中导数的概念都是用极限来定义的。在我们的课程中对于极限概念只要求从几何上的直观描述来理解。即极限是描述函数在自变量的某个变化过程中，函数和某一个确定的常数无限的靠近，而且要多近就有多近。
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理解极限的定义要弄清楚，函数在自变量的某个变化过程中，是否有极限存在决定于在自变量的这个变化过程中函数是否有固定的变化趋势，而且这个变化趋势与自变量的变化趋势和求极限的函数有关，而与函数在该点处是否有定义无关。例如：
limsinxx?1（第一个重要极限）
sinxxx?0其中函数f?x??sinxx在x=0处无定义。又如：
limx???0（当x→∞时，为无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）
注意到这个极限式中的函数与前式相同，但自变量的变化趋势不同，则极限不同。 在极限概念中，我们介绍了七种极限形式： 数列极限：xn→A(n→∞) 函数极限：f(x)→A(x→∞)
f(x)→A(x→+∞) f(x)→A(x→-∞) f(x)→A(x→x0)
?左、右极限：f?x??L(x?x0)
f?x??R(x?x0)
?且有结论：limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A
x?x0x?x0?x?x0?由于极限是一个局部概念，函数在某点处是否有极限决定于在该点附近的函数值，因此对于分段函数在分段点处的极限问题必须考虑其左、右极限。
（五）关于极限的计算
极限计算是本课程的基本计算之一，在我们的课程中介绍了下列求极限的方法： （1）极限的四则运算法则； （2）重要极限； （3）函数的连续性。
在具体运用时，首先要清楚上述法则或方法成立的条件，否则会在计算中出现错误。 （六）关于函数的连续性
根据连续性的定义，函数f(x)在点处连续的充分必要条件是：函数f(x)在点x0处同时满足下列三个条件：
（1）f(x)在点x0处有定义； （2）f(x)在点x0处有极限；
（3）f(x)在点x0处的极限值为该点处的函数值，即limf(x)?f(x0)上述三个条件之一不满足，则
x?x0f(x)在点x0处间断。
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连续函数的曲线是一笔画成的，如果函数在某处发生间断，则函数的曲线一定在此处断开。
三、典型例题
例1求下列函数的定义域： （1）f(x)?x?2lnx?16?x
2?2x,?（2）f(x)??1,??x?1?1?x?11?x?4x?2lnx
分析：（1）函数是由与16?x的和构成的，按照前面提到的求解途径，先分别求出各表达式
2的定义域，再取公共部分；（2）这是个分段函数，先确定函数在各段上自变量的取值范围，再取并集。
解： （1）对于
x?2lnx，要求x>0且x≠1，即(0,1)∪(1,+∞)；对于16?x，要求16-x2≥0，即x2≤16，
2它等价于|x|≤4，即[-4,4]，于是取两个函数定义域的公共部分，得所求函数定义域为[(0,1)∪(1,+∞)]∩[-4,4]=(0,1)∪(1,4]。
（2）两个分段区间是(-1,1]和(1,4]，取它们的并集得所求函数的定义域为(-1,4]。
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例2已知函数f(x+1)=x+2x-3，求f(x), f()和f(1)。
1x分析：本题的关键是求出f(x)，可以采取两种不同的方法求解。
[方法1]将x+1看作一个变量，即作变量替换t=x+1，这样得到x=t-1，代入后直接得出f(x)。 [方法2]将等式右端表成x+1的函数。 解：
[方法1]令t=x+1，则x=t-1，代入原式有
f(t)=(t-1)2+2(t-1)-3
=t2-2t+1+2t-2-3 =t-4
2
因函数关系与表示自变量的字母无关，故由上式得到 f(x)=x2-4 利用f(x)可直接得到
11f()?2?4 xxf(1)=1-4=-3
[方法2]将等式右端表成x+1的函数,即f(x+1)=x2+2x+1-4=(x+1)2-4 所以f(x)=x2-4再利用f(x)可直接得到
11f()?2?4 xx
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f(1)=12-4=-3
例3判断下列函数的奇偶性 （1）f(x)=sinx+x2
（2）f(x)?lnx?1?x2 分析：
（1）可以根据定义或运算性质进行判断； （2）根据定义进行判断。
解：（1）[方法1]根据定义进行判断。 因为f(-x)=sin(-x)+(-x)2=-sinx+x2
且f(-x)≠f(x)，也f(-x)≠-f(x)，由定义，f(x)= sinx+x2是非奇非偶函数。 [方法2]根据运算性质进行判断。
因为sinx是奇函数，x是偶函数，所以f(x)=sinx+x是非奇非偶函数。注意：利用运算性质进行判断的前提是知道各函数的奇偶性。
（2）根据定义进行判断。 因为，
f(-x)?ln[(-x)?2??22
1?(-x)2
22?ln[1?x-x]?ln1(1?x?x)2(1?x?x)(1?x?x)(1?x?x)2
?ln??ln(1?x?x)??f(x)
2所以，f(x)?lnx?1?x2是奇函数。
例4将下列函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算： （1）y?tan（2）y?e2??2?1 ?sinx2xx?1
分析：任意一个初等函数可以分解为基本初等函数的四则运算或复合运算。分解的方法是从最外层开始，如果是四则运算就将运算的每一项设为中间变量，然后在考察每个中间变量；若不是四则运算，则一定是某一类基本初等函数，此时将这个基本初等函数的自变量位置上的表达式设为一个中间变量，然后再考察这个中间变量。将这个方法向内层反复使用。
解：
（1）y=tan u, u?（2）y=eusinv, u?例5求下列各极限
v,v=2x-1
w,w=x2+1,v=x2，
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