微积分初步
(2) 设y?ln(x?1?x2)，求y'(3)。 (3) 设y?(xx?12)，求y'。
10分析：采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止。
解：（1）设y?eu,u?nis代回还原得
y'?esin1xv,v?1x，利用复合函数求导法则，有y'?(eu)'u(sinv)'v()'x?eucosv(?x11x2)
cos1x(?1x2)
dy?y'dx?esin1xcos1x(?1x2)dx
在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法：
y'?esin1x(sin1x)'?esin1xcos11()' xx在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法：
y'?esin1x(sin1x)'?esin1xsin1111cos()'?excos(?2)
xxxx1dy?y'dx?esin1xcos1x(?1x2)dx
(2)设y=ln(x-x?1) ，利用复合函数求导法则，有
2代回还原得
代回还原得
或者
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微积分初步
(3)设y?u,u?10xv,v?x?1，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有，
2
代回还原得y'?10(xx?1xx?122)?9x?1?2x(x?1)x2222?10x(1?x)(x?1)221192
或者y'?10(xx?12)(9)'?10(x?12)9x?1?x?2x(x?1)22
例3 求下列方程所确定的隐函数的导数y'或微分dy： （1）x2+y2+xy=0，求dy； （2）e+ylnx=cos2x，求y'。
分析：隐函数的特点是：因变量y与自变量x的对应关系是隐藏在方程中的。因此，在求导数时，不要忘记y是x的函数，在对y的函数求导后切记再乘以y对x的导数y'。
解：依隐函数求导数的步骤求导。
(1)[方法1] 由导数得到微分。
方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有： 2x+2yy'+(y+xy')=0 即：(x+2y)y'=-(y+2x)
xy
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整理方程，解出y'，得：y'??y?2xx?2y;
dy?y'dx??y?2xx?2ydx
[方法2] 方程两边对变量求微分，这时变量y和x的地位是相同的，即不再将y看作x的函数。
dy??y?2xx?2ydx
(2)方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有：
于是：(xexy?lnx)y'??2sin2x?yx?yexy
整理方程解出y'，得：
例4 求由曲线x+xy+y=4在点M(2,-2)的切线方程。
分析：如果函数f(x)可导，函数曲线在点x0处的切线方程为
2
2
y-y0=f'(x0)(x-x0)
因此求曲线在某点处的切线方程，必须知道两点：①曲线在点x0处的导数f'(x0)；②切点(x0,y0)。
此题中，切点M(2,-2)已知，只需对隐函数方程求导数，求出f'(x0)。 解：方程两边对x求导，得2x+y+xy'+2yy'=0
2x?yx?2y解出y'，得y'??，y'|x?2y??2??1
于是，在点M(2,-2)的切线方程为： y-2(-2)=-1×(x-2) 即：
y=x-4
请注意：求曲线的切线方程是导数概念的一个重要应用，一般地，在题目中只给出切线方程的两个要点中的一个，另一个是要根据已知条件求出来的。再则，如果已知条件中只给了切点的横坐标x0，那么纵坐标y0可以通过y0=f(x0)得到。
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微积分初步
例5 求函数y?xlnx的二阶导数。
分析：函数的二阶导数为函数一阶导数的导数.(如果仍然可导). 解：因为 y'?12xlnx?x?1x?11(lnx?1) x2所以
y\??1x?32(1lnx?1)?1?1??1x?32lnx
2
22xx414
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第三讲微分应用部分
一、教学内容与教学要求 二、学习重难点解析 三、典 型 例 题
一、教学内容与教学要求
（一）教学内容
1. 函数单调性判别，函数极值； 2. 导数在实际问题中的应用。 （二）教学要求
1.掌握函数单调性的判别方法。
2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法。 3.掌握求函数最大值和最小值的方法。
二、学习重难点解析
（一）函数单调性的判别
判断函数的单调性，可以用单调性的定义进行，但在实际操作时是比较麻烦的，在这里作为导数的应用，利用函数一阶导数的符号对函数的单调性进行判别，这种方法简便易行。具体是：若在[a,b],
f'(x)?0,则f(x)在区间上是单调增加的，称[a,b]是f(x)的单调增加区间；若在[a,b], f'(x)?0,
则f(x)在区间[a,b]上是单调减少的，称[a,b]是f(x) 的单调减少区间。
在学习这部分内容时，我们要注意下面几点：
（1）如果函数f(x)在[a,b]连续,除去个别点f'(x)?0（或导数不存在）外,都有f'(x)?0（或
f'(x)?0），则f(x)在区间[a,b]上是单调性不受影响。例如f(x)?x在(-∝,+∞)内是单调增加的，
3但在x=0处，有f'(0)?0.也就是说，应用定理的条件可以放宽，即在[a,b], f'(x)?0（且等号只在个别点成立）,则f(x)在区间[a,b]上是单调增加的，称[a,b]是f(x)的单调增加区间；若在[a,b],
f'(x)?0（且等号只在个别点成立）,则f(x)在区间[a,b]上是单调减少的，称[a,b]是f(x) 的单调减
少区间。
（2）求函数f(x) 的单调区间的步骤为： ①确定函数f(x) 的定义域；
②求出函数f(x)在其定义域内f'(x)?0的点和导数不存在的点，这些点把定义域分成若干子区间； ③确定f'(x)在每个子区间内的符号：一般在该区间内任取一点x0，求出f'(x0)的符号，由于f(x)在该区间内有单调性，故f'(x0)的符号就是f'(x)在该区间内的符号。
④根据每个子区间内f'(x)的符号，确定f(x)的单调增减性，得到f(x) 的单调区间。
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