微积分初步
第五讲积分应用部分
一、教学内容与教学要求 二、学习重难点解析 三、典型例题
一、教学内容与教学要求
（一）教学内容
1．定积分在几何上的应用——求平面曲线围成的图形面积。 2．微分方程的基本概念——微分方程及其解、阶以及分类。 3．两类一阶微分方程的解法
可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程求解举例。 （二）教学要求
1．会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。
2．了解微分方程的基本概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法。
二、学习重难点解析
（一）关于定积分的几何应用 1．关于求曲线方程
作为积分几何应用之一，已知曲线y?f(x)在任意点x处切线的斜率和曲线经过的某一点(x0,y0)，可以由积分求出曲线方程y?f(x).
2．关于平面图形的面积
求平面曲线围成的几何图形的面积.
b（1）由曲线y?f(x)和x轴及直线x=a,x=b围成的平面图形为S?具体地就是
b?af(x)dx
若在整个区间[a,b]上，f(x)?0，则S??af(x)dx
b若在整个区间[a,b]上，f(x)?0，则S???f(x)dx
a若在区间[a,c]上，f(x)?0，[c,b]上，f(x)?0则：
cbS??af(x)dx?(??f(x)dx)
cb（2）由曲线y=f(x)和y=g(x)及直线x=a,x=b围成的平面图形为S?具体地就是
若在整个区间[a,b]上，f(x)?g(x)，则
?af(x)?g(x)dx
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bS??[f(x)?g(x)]dx
a若在整个区间[a,b]上，f(x)?g(x)，则
bS??[f(x)?g(x)]dx
a若在区间[a,c]上，f(x)?g(x)，[c,b]上，f(x)?g(x)则：
cbS??[f(x)?g(x)]dx??[g(x)?f(x)]dx
ac（二）关于微分方程 1．微分方程概念 （1）微分方程 （2）方程的阶
（3）线性、非线性微分方程 （4）方程的解
（5）初始条件和初值问题 2．关于求解两类一阶微分方程 （1）可分离变量微分方程的解法
可分离变量的微分方程可以用积分的方法求解。 形如
dydx?f(x)g(y)
称为可分离变量微分方程，求解方法是: ①将方程(1)式的形式化为：
dyg(y) ?f(x)dx (1)
②对两边分别积分，得：?1dyg(y)??f(x)dx
③设G(y),F(x)分别为
g(y),f(x)的原函数，则微分方程
dydx?f(x)g(y)的通解为：
G(y)?F(x)?c。
（2）一阶线性微分方程的解法： 形如：y'?P(x)y?Q(x)
(2)
的微分方程称为一阶线性微分方程.当Q(x)?0，方程(2)称为一阶线性齐次微分方程；当Q(x)?0，方程(2)称为一阶线性非齐次微分方程。
①一阶线性齐次微分方程的解法
在方程(2)中，若Q(x)?0，则
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y'?P(x)y?0
是可分离变量的微分方程，分离变量，得 dyy??P(x)dx
两边积分，得
lny???P(x)dx?lnc
即y?ce??P(x)dx
这是一阶线性齐次微分方程的通解。 ②一阶线性非齐次微分方程的解法
一阶线性非齐次微分方程(2)的解可以用“常数变易法”求得.这种方法是将相应齐次方程的通解中的任意常数c换为x的函数c(x)，即令：y?ce??P(x)dx
两边求导，得y'?c'(x)e??P(x)dx?P(x)dx ?c(x)P(x)e?将y,y’的表达式代入方程(2)，得
c'(x)?Q(x)e?P(x)dx
两边积分，得
c(x)??Q(x)e?P(x)dxdx?c
将此式代入y?ce??P(x)dx，便得到一阶线性非齐次微分方程的通解为
?P(x)dxP(x)dxy?e?(?Q(x)e?dx?c)
这是一阶线性非齐次微分方程的通解公式。
微分方程是高等数学的一个重要分支，由于学时的限制，在本课程中只作为积分学的一个应用（或发展）对其作简单的介绍.由于已知的是未知函数的导数所满足的关系式，所以必须通过解微分方程求得未知函数.当然解微分方程要比直接求原函数复杂一些，但所能解决的问题也更加广泛一些。
三、典型例题
例1单项选择题
1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（ ）。 A．y=x2+3 C．y=x2+2 答案：A
分析：?2xdx?x2?c，即曲线方程为y=x2+c.将点(1,4)代入得c=3，所求曲线方程为y=x2+3 正确选项为A。
2.由曲线y=f(x),y=g(x)及直线x=a,x=b(a bbB．y=x2+4 D．y=x2+1 A. ?(f(x)?g(x))dx；B. ?(g(x)?f(x))dx； aa 33 微积分初步 bbC. ?f(x)?g(x)dx；D. ?(g(x)?f(x))dx aa答案：C 分析：由定积分的几何意义，选项C正确。 3．微分方程y'?A. y?4x2yx?0满足y(2)?1的特解是（） 2x；B. y?；C. y?ex?2；D. y?log2x 答案：B 分析：所有选项中的函数都满足初始条件，但A,C,D选项中的函数不满足微分方程，B选项中的函数满足微分方程，故选项B正确。 4．下列微分方程中，（）是线性微分方程. A. y\x?2y'sinx?lny?0 C. y'\ex?2xy'?ey B. y\x?xy?lnx D. y'y?xy\?cosx 答案：B 分析：由定义，未知函数及其各阶导数都是一次的微分方程称为线性微分方程.所以正确选项是B。 例2 填空题 1．曲线在任意一点处的切线斜率为x，且曲线过点(1,1)，则曲线方程为 。 233分析：?233xdx?x?c，即曲线方程为y?2233x2?c.将点(1,1)代入得c?13，所求曲线方程为： y?x2?13 答案：y?1233x2?13 2．?(5x3?3x?2)dx??1。 分析利用奇、偶函数在对称区间定积分的性质简化计算。 答案：4 a3．由定积分的几何意义知，?a?xdx= 。 022分析：由定积分的几何意义，表示由曲线y?面积，它是圆心在原点，半径为a的圆面积的 aa?x,y?0及直线x=0,x=a(a>0)所围成的平面图形 2 2214部分的面积，因为半径为a的圆面积为πa，所以 ?0a?xdx?22?4a。 34 2 微积分初步 答案： ?4a 24．微分方程(y\)3?4xy(4)?y7sinx的阶数为 。 分析：由定义，微分方程中未知函数导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶。此方程中导数的最高阶数为4，所以方程的阶数为4。 答案：4 5．微分方程y'?3y?0的通解为 。 分析：由定义，微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.可以解得y=Ce-3x为方程的通解。 答案： y=Ce 6．微分方程y’=y,y(0)=1的特解为 。 分析：y’=y的通解为y=Cex，将初始条件y(0)=1代入通解y=Cex，确定出C=1。 答案：y=ex 例3求微分方程 e?1yx-3x y'?e的通解。 x分析：这是一个可分离变量的微分方程，可按照分离变量方程的解法步骤求解。 解：将方程分离变量 dyy?exx1?edx 两边积分?dyy??1?eexxdx 得通解lny=ln(1+ex)+c 即 y1?ex?c 2 例4求微分方程y’=ycosx满足初始条件y(0)=1的特解。 分析：这是一个可分离变量的微分方程，按照分离变量方程的解法步骤求解。此题是求方程的特解，所以再求出通解之后还要将初始条件代入通解，以确定任意常数得到特解。 解：分离变量得到 dyy2?cosxdx ?ydy2??cosxdx1y 得到通解??sinx?c 由初始条件得c=-1 ?1y??sinx?1,y?11?sinx 35