微积分初步
（二）函数的极值与极值点 1．极值与极值点的定义
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果对该邻域内的任意一点x(x≠x0)，恒有f(x)?f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，称x0为函数f(x)的极大值点；如果对该邻域内的任意一点x(x≠x0)，恒有f(x)?f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值，称x0为函数f(x) 的极小值点。
?极大值?极大值点极值? 极值点?
?极上值?极上值点?驻点可能发生极值的点?
不可导点?2．函数极值点及极值的步骤：
①确定函数f(x)的定义域，并求其导数f'(x) ；
②解方程f'(x)?0，求出f(x) 在其定义域内的所有驻点； ③找出f(x) 的连续但导数不存在的所有点;
④讨论在驻点和不可导点的左、右两侧附近f'(x)符号变化的情况，确定函数的极值点；
⑤求出极值点所对应的函数值（极大值和极小值）。
（三）函数最值的概念及求法
在日常生活和经济活动中，经常遇到花一定的钱希望买的东西越多越好，有限的场地建最大的房子越大越好等问题，这些问题归结到数学上就是求函数的最大值或最小值问题.通常，最大值、最小值与极值是有差别的.因为对在区间[a,b]上的连续函数y?f(x)，如果x0?(a,b)是f(x)的极值点，那么存在x0的一个邻域，对该邻域中的任意一个x(x?x0)，都有f(x0)?f(x) 或f(x0)?f(x)
而当x0?[a,b]是f(x)的最大值点或最小值点时，那么对任意的x?[a,b]，都有f(x0)?f(x) 或
f(x0)?f(x)。
也就是说，极值是对极值点x0的某个邻域而言的局部概念，它只能在区间的内点取得.而最大值、最小值是对整个区间而言的全局性概念，它可能在区间的内点取得（则它必是极值点），也可能在区间的端点取得。
可以证明，连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。
函数可能在什么地方可以发生最值呢？可以得出下面的结论。即连续函数的最大值和最小值只可能在以下几种点处取得：
（1）驻点
（2）导数不存在的点 （3）区间端点
因此，求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值，只需分别求出f(x)在其驻点、导数不
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存在的点以及端点a,b处的函数值。这些函数值中的最大者就是函数在[a,b]上的最大值，最小者就是函数在[a,b] 上的最小值。
三、典型例题
例1填空题
2
1．函数y=3(x-1) 的单调增加区间是 。
分析：因为y’=6(x-1)，且在(1,+∞),y’>0，所以函数y=3(x-1)2的单调增加区间是(1,+∞)。 答案：(1,+∞)
2．函数f(x)=ax2+1在区间(0,+∞)内单调增加，则a应满足 。
分析：因为f'(x)?2ax，且在(0,+∞)里，当a>0，f'(x)?2ax?0，所以应满足a>0。 答案：a>0
3．若f(x)在(a,b)内满足f'(x)?0，则f(x)在(a,b)内是 。
分析：因为f(x)在(a,b)内满足f'(x)?0，所以f(x)在(a,b)内是单调下降的。 答案：单调下降
4．函数f(x)?x?1?2的最小值点是x = 。
分析：因为x?1?0，且在x=1处等号成立，所以最小值点为x=1。 答案：1
5．若f(x)在[a,b]内满足f'(x)?0，则f(x)在[a,b]内的最小值 。
分析：因为f(x)在[a,b]内满足f'(x)?0，说明函数在[a,b]是单调下降的，所以最小值点是右端点，最小值为f(b)。
答案：f(b)
例2 单项选择题
1．函数y=(x+1)2 在区间 (-2,2)是（ ）。 A．单调增加 C．先增后减
B．单调减少 D．先减后增
分析：因为y'=2(x+1)，且在x=-1处有y'=0，并有x<-1,y'<0，x>-1,y'>0，说明在区间(-2,2)内，函数y=(x+1)2 是由单调减少变为单调增加。
答案：D
2．满足方程f'(x)?0的点一定是函数y=f(x) 的（ ）。 A．极值点
B．最值点
C．驻点
D． 间断点
分析：由驻点的定义可知，使f'(x)?0的点为函数的驻点。 答案：C
3．下列结论中（）不正确。
A．f(x)在x=x0处连续，则一定在x0处可微。
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B．f(x)在x=x0处不连续，则一定在x0处不可导。 C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上。
D．若f(x)在[a,b]内恒有f'(x)?0，则在[a,b]内函数是单调下降的。 分析：函数连续不一定可微，所以A不正确。 答案：A
4．函数f(x)=2x2-lnx单调增加区间为（）。 A．(?12,0)和(112,??)
B．(,??)
21C．(??,?1 )和(0,)
221xD．(0,)
21分析:因为f'(x)?4x?答案：B
，由f'(x)?0，即4x>1，解得x?2
12.
5．下列函数在指定区间(-∞,+∞)上单调增加的是（ ）．
A．sinx B．ex C．x2 D．3-x 分析：因为(ex)'?ex?0 ,x∈(-∞,+∞)，所以正确答案B. 答案：B
例3 计算题
（1）求函数f(x)=x2-6x+10的单调区间. 分析：按照求函数f(x)的单调区间的步骤求解. 解：函数f(x)=x2-6x+10的定义域为(-∞,+∞)， 因为f'(x)?2x?6?2(x?3) 令f'(x)?2(x?3)?0得x0=3
以x0=3为分点，将函数定义域分为两个子区间：(-∞,3),(3,+∞)，讨论f'(x)在这两个子区间中的符号，列表如下：表1
所以，函数f(x)=x-6x+10的单调增加区间为(-∞,3)，单调减少区间为(3,+∞).
（2）求函数f(x)?x1?x2
的单调区间.
分析：按照求函数f(x)的单调区间的步骤求解. 解：函数f(x)?x1?x的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)
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因为f'(x)?x(1?x)2?0(x??1)
x所以，函数f(x)?1?x在(-∞,-1),(-1,+∞)内分别单调增加.
83x?2x?2的极值.
32（3）求函数f(x)??x4?分析：按照求函数f(x)的极值的步骤求解。 解：
① 函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且f'(x)??4x3?8x2?4x??4x(x?1)2 ② 令f'(x)?0，得驻点x1=0,x2=1。 ③ 该函数没有导数不存在的点。
④驻点将定义域分成三个子区间(-∞,0),(0,1),(1,+∞)，表2给出f'(x)在子区间上符号变化情况和函数极值情况。
表2f(x)的极值情况
+ 0 0 2极大值 - 1 0 非极值 - ⑤ 由表2可知，x1=0是函数f(x)的极大值点，f(x)的极大值是f(0)?2。
2（4）求函数f(x)?3x3?x的极值。 分析：按照求函数f(x) 的极值的步骤求解。 解：①函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且
?13f'(x)?2x?1?2?33xx
②令f'(x)?0，得驻点x1=8。 ③f'(x)在点x2=0处不存在。
④导数不存在点x2=0和驻点x1=8，将函数定义域分成三个子区间 ：(-∞,0),(0,8),(8,+∞)，在这些子区间内讨论f'(x)的符号变化及f(x) 极值情况，见表3。
表3f(x)的极值情况
- 0 不存在 19 + 8 0 - 微积分初步 0极小值 4极大值 ⑤由表3可知，x1=8和x2=0分别是f(x)的极大值点和极小值点，函数的极大值和极小值分别是f(8)=4,f(0)=0。
例4 应用题（以几何应用为主）
（1）设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
分析：本题是要求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大，设矩形的边长分别为x,y（厘米），则旋转成的圆柱体的体积为V=πx2y
再由已知条件，2x+2y=120，即y=60-x，代入即得 圆柱体的体积为V=πx2y=πx2(60-x)
所以我们的问题就是求x为多少时，可使V=πxy=πx(60-x)取得最大值。 解：设矩形的边长分别为x,y（厘米），则有2x+2y=120又旋转成的圆柱体的体积为V=πx2y=πx2(60-x)。 求导得
V'?3?x(40?x)
2
2
令V’=0得x=40,(x=0 舍去） V\π(40-2x)|x=40<0,
说明x=40是极大值点，故当x=40,y=20 厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。
（2）欲用围墙围成面积为216平方米的一个矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
分析：
这是一个求用料最省的问题。用料最省实际上就是所建的围墙长度最短，当然是在围墙围成面积为216平方米的约束条件下，所要建的围墙如图，设土地一边长为x，另一边长为h，所建的围墙长度为y=3x+2h，由约束条件h?216x ，
216x?3x?432x于是y?3x?2
432x这样此题就转化为求边长为为多少时，函数y?3x?解：设土地一边长为x，另一边长为于是y?3x?2y'?3?432x2的最小值问题。
216x，共用材料为y
216x?3x?432x
令y’=0得到唯一驻点x=12（x=-12舍去）
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省。
例5 证明题
函数f(x)?x?e在（-∞,0）是单调增加的。
分析：要证明
20
x