微积分初步
解：因为F'(x)?(1?lnx)? G'(x)?lnx?所以和G(x)?且有F(x)?121221xx??1?lnxxx
1?lnxx121x?11?lnxlnx?lnx是同一个函数
2的两个原函数。
12(1?lnx)?12lnx?lnx?2?G(x)?
说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2判断下列等式是否正确. （1）d?11?x2dx?11?x2dx
（2）?(sinx)'dx??cosx?c
分析：（1）,（2）根据不定积分的性质进行判断. 解：（1）依照不定积分的性质d?f(x)dx?f(x)dx 所以,等式d?11?x2dx?11?x2dx成立.
（2）依照不定积分的性质?f'(x)dx?f(x)?c
所以,等式?(sinx)'dx??cosx?c不成立.正确的应为?(sinx)'dx?sinx?c 例3计算下列积分： （1）?(x?1x3)dx
2 （2）?e(3?2?xxe?x2sinx)dx
（3）
?sinaxdx
分析：对于（1）,（2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形；对于（3）,注意到被积函数带有绝对值符号,而在积分时,绝对值符号是一定要打开的,且在积分区间[0,2π]上有
n?sixn?? sixn??six0?x????x?2?
利用定积分的区间可加性和N-L进行计算。 解：
（1）将被积函数变形为(x?
1x3)?x?22x?1x3
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微积分初步
?(x?1x3)dx?2?(x?1222x?1x)dx?312x2?xdx??c
?x2dx??x13dx
?x?2lnx?（2）将被积函数变形为
再利用积分公式和积分运算性质得
?2?
(3e)xln3?12??coxt?c
?（3）
?sinaxdx??sin0xdx???sin?xdx
说明：本例在求积分的方法直接积分法。这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质,或者对被积函数进行适当变形就可以运用积分公式求积分的题目.在解题中应该注意：
1．熟悉基本积分公式；
2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）,变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合。这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；
3．如果连续试探几次,进行不同的变形后仍无法达到目的,则应考虑其它积分方法求解。 例4计算下列积分： （1）?x1?x2dx
（2）?eexx2(1?e)dx
（3）?1lnxx2dx
分析：注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）,在计算中要明确被积函数中的中间变量u??(x),设法将对u??(x)求积分转化为对求积分。对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点,即“换元变限”。
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微积分初步
解：（1）将被积函数
x1?x2看成
xu,其中u=1-x,且du=-2xdx,于是,
2
xudx??112udu,这时
对于变量可以利用公式求积分。
（2）将被积函数
exx2(1?e)看成,其中u=1+e,且du=edx,于是
xx
eux2dx?duu2,这样对于变量u=1+ex可以
利用积分公式求积分。
（3）将被积函数公式求积分.
解： （1）?x1?x2(lnx)x2看成
u2x,其中u=lnx,且du?1xdx,于是,这样对于变量u=lnx可以利用积分
dx??12?11?x2d(1?x)2令u?1?x2??1du ?2u1 ??u?c??1?x?c （2）?exx22(1?e)dx??(1?e1u1x)2d(1?e)11?exx令u?1?ex??u12du
???c???c=
（3）[方法1]换元换限。
令u=lnx,则du?1xdx,且当x=1时,u=0,x=e时,u=1,于是有
[方法2]只凑微分不换元,不换积分限。
说明：第一换元积分法是积分运算的重点,也是难点.一般地,第一换元积分法所处理的函数是复合函数,故此法的实质是复合函数求导数的逆运算。在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分
?f(u)du容易求原函数。
应用第一换元积分法时,首先要牢记积分基本公式,明了基本公式中的变量x换成x的函数时公式仍然成立。同时还要熟悉微分学中的微分基本公式,复合函数微分法则和常见的“凑微分”形式。具体解题时,“凑微分”要朝着?f(u)du容易求积分的方向进行。
在定积分计算中,因为积分限是积分变量的变化范围,当积分变量发生改变,相应的积分限一定要随之变化,所以,在应用换元积分法解题时,如果积分变量不变（例如（3）中的方法2）。则积分限不变。而且
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在换元换限时,新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限,新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限,当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）中的方法1）。
由于积分方法是灵活多样的,技巧性较强,一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的，因此,我们只有通过练习摸索规律,提高解题能力。
例5计算下列积分
（1）?(x?1)sinxdx；
2x （2）?xe2dx；
0e （3）?xlnxdx
1分析：注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u,v’的选择可以参照表3-1,具体步骤是：
1．凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为v’dx,即v’dx=dv,使积分变为?udv； 2．代公式, ?udv?uv??vdu,计算出du=u’dx 3．计算积分?vdu。
bbab在定积分的分部积分公式是?udv?uv|??vdu,它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下
aab限.注意公式中uv|a是一个常数,在计算中应随时确定下来。
解：（1）设u=x+1,v’=sinx,则v=-cosx,由分部积分公式有
=-(x+1)cosx+sinx+c
xx2
（2）设u?x,v'?2e2,则v?2e,由定积分分部积分公式有
（3）设u=lnx,v’=x,则v?eex22,由定积分分部积分公式有
?xlnxdx?1x22lnx|?e112?1x2xdx?e22?x24|1?e14(e?1)
2例6计算下列无穷限积分：
?? （1）；
?e0?2xdx
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?? （2）
?xlnxdx
e??1 分析：对于无穷限积分
b?af(x)dx的求解步骤为：
（1）求常义定积分?f(x)dx?F(b)?F(a)；
a （2）计算极限lim[F(b)?F(a)]
b??? 极限存在则收敛（或可积）否则发散.收敛时积分值等于极限值。
??b?3x 解：（1）?e0??xdx?limbb????e0?3xdx?lim[?b???13e?3x1?3b1b0|0]?lim[?[e?e]?
b???33 (2)
?xlnxe??1dx?limb????lnxe1d(lnx)?limln(lnx)|e???说明此无穷积分发散。
b???b 注意：上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式 （1）
?e0???3xxdx?[?13e?3x|0]???13
（2）
?xlnxe1??dx??lnxe1dlnx?ln(lnx)|e???
b??例7设f\(x)在[a,b]上连续，证明：?xf\(x)dx?[bf'(b)?f(b)]?[af'(a)?f(a)]
a 分析：利用定积分的分部积分公式证明。
bbb 证明：?xf\(x)dx?a?xdfa'(x)?[xf'(x)]|??f'(x)dx
abab ?bf'(b)?af'(a)?f(x)|a?[bf'(b)?f(b)]?[af'(a)?f(a)]
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