微积分初步
xxf(x)?x?e在（-∞,0）是单调增加的，只需验证f(x)?x?e在（-∞,0）的一阶导数大于零。
证明：因为当x∈（-∞,0）时，f'(x)?1?ex?0，所以，f(x)?x?ex在（-∞,0）是单调增加的。
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微积分初步
第四讲 积分部分
一、教学内容与教学要求 二、学习重难点解析 三、典型例题
一、教学内容与教学要求
（一）教学内容
1．原函数与不定积分
原函数的概念；不定积分的定义、性质，积分基本公式；求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。
2．定积分
定积分的定义(用牛顿-莱布尼兹公式作定义)、性质和计算。 3．广义积分（简单的无穷限积分） （二）教学要求
1．理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法。
2．了解定积分概念、性质，会计算一些简单定积分。 3．会判断一些简单的广义积分的敛散性。
二、学习重难点解析 （一）关于原函数与不定积分概念
1．原函数与不定积分是两个不同的概念,它们又是紧密相连的。对于定义在某区间上的函数f(x),若存在函数F(x),使得该区间上的每一个点x处都有F'(x)?f(x)成立,则称F(x)是f(x)的一个原函数；而F(x)?C（C为任意常数）称为f(x)的不定积分。
2．f(x)如果有原函数,则有无穷多个；而且任意两个原函数之间仅相差一个常数。求f(x)的不定积分是求其全体原函数,而只要求出一个原函数F(x),再加上任意常数c,就得到了f(x)的全体原函数。因此原函数与不定积分是个体与全体的关系。
3．f(x)的不定积分?f(x)dx中隐含着积分常数,在计算的结果中一定要有积分常数c。如果被积函数f(x)是由几个函数的代数和构成时,计算中要利用积分的性质,将其分为几个积分的代数和,但是不必每个积分都加积分常数,当积分号消失时是一定要加上积分常数c。
（二）关于不定积分的性质
1．求导数（或微分）与求不定积分互为逆运算,由这个性质可以知道,对一个函数若先求导数（或微分）再求积分等于该函数加上任意常数c；若先求积分再求导数（或微分）则两种运算相互抵消,结果等于被积函数（或被积表达式）。例如
2．将不定积分的两个运算性质
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?[f(x)?g(x)]dx???kf(x)dxf(x)dx??g(x)dx和
:
?k?f(x)dx结合起来有
（三）不定积分的几何意义
函数f(x)的原函数F(x)的几何图形称为f(x)的积分曲线, f(x)的不定积分
?f(x)dx?F(x)?c是f(x)的一蔟积分曲线,这蔟积分曲线在横坐标相同的点x处的斜率是相同的。
（四）关于不定积分的计算
1.积分基本公式是积分计算的最终依据,在积分计算时,必须将积分号中的被积表达式与某个基本公式中被积表达式的形式完全相一致,方可利用公式求出积分。
2.第一换元积分法（凑微分法）主要是处理复合函数求积分的方法,它的基本思想是“变换积分变量,使新的积分对于新的积分变量好求原函数”,采用的手段是“凑微分”,将?f(x)dx凑成
?f1[?(x)]?'(x)dx,如果说被积函数可以凑成f1[?(x)]?'(x)这样两个因子的乘积（其中一个是?(x)的函
数,另一个是?(x)的导数）,方可使用第一换元积分法。注意这里的?(x)一定要含在原被积函数中。
例如,积分对于?(2x?1)10dx,原被积函数为(2x-1),令u??(x)?2x?1,将
10
(2x?1)10?12(2x?1)10?2?12u10?2,其中的因子2是u??(x)?2x?1的导数,是为了换元而凑出来的,
而因子
12是为了与原积分的保持相等而乘上去的,于是有
10?(2x?1)dx?u?2x?112?(2x?1)2dx?利用公式求出积分101012?(2x?1)d(2x?1)
?1u1110
换元?12?udu(2x?1)11??c
1211?c
2x?1?u
还原?122 其中要注意：
（1）在微分中我们已经习惯了dy=y’dx,而在积分计算中常常是反过来使用,即y’dx=dy.例如将2dx=d(2x)=d(2x-1)；
（2）在积分计算中,不但要熟悉基本积分公式,还要熟悉基本微分公式,熟悉常见的凑微分形式：
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（3）用第一换元法的目的是求出积分,因此,换元以后的积分?f1[?(x)]?'(x)dx??f(u)du必须
容易求出积分。一般地,换元后的函数f(u)是积分基本公式中函数的形式或积分基本公式中函数的线性组合形式。
3.分部积分法
分部积分法是通过将?udv转化为?vdu来计算积分,显然后者应该是容易求出积分的。在进行运算时应该注意以下几点：
（1）运用分部积分法求积分中关键的一步是确定被积函数中的u和v’,一般说来,选取u和v’应遵循如下原则：①选作的函数必须容易计算出原函数；②所选取的u和v’,必须使得?vdu较之?udv容易计算。 （2）连续两次（或两次以上）应用分部积分公式时,对和的再次选择应是与前一次相同类型的函数（例如,第一次选取为三角函数,则第二次仍将选为三角函数）。
我们将常见的利用分部积分法求积分的函数类型以及在积分中的选择总结于下表。
（2）连续两次（或两次以上）应用分部积分公式时,对和的再次选择应是与前一次相同类型的函数（例如,第一次选取为三角函数,则第二次仍将选为三角函数）。
（五）关于定积分 1.定积分的概念
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b定积分?f(x)dx是一个数值,这个数值为F(x)|b?F(b)?F(a),这里F(x)是被积函数f(x)的任意一aab个原函数。即?f(x)dx?F(a)?F(b)?F(x)|a
ab这个数值与积分区间[a,b]有关,与被积函数和积分变量上、下限有关,但与积分变量选取什么字母无关，
bb?af(x)dx??abf(u)du。
a还有：?f(x)dx???f(x)dx
ab
定积分不同于不定积分。不定积分?f(x)dx是f(x)的全体原函数,即无穷多个函数,而定积分
b?f(x)dx是一个确定的数值。
a2.定积分的计算
由牛顿——莱布尼茨公式知,定积分在计算上是完全依赖于不定积分的。在定积分计算中也有换元积分法和分部积分法,它们与不定积分中的换元积分法和分部积分法的区别在于：
（1）在使用定积分的换元积分法时,换元一定要换限,积分变量必须与自己的积分上、下限相对应。换元换限后,对新的积分变量求得的原函数,可直接代入新变量的上、下限求值,而不必再还原到原来的变量在求值。
（2）定积分的分部积分法所处理的函数类型与u,dv的选择与不定积分完全相同只是在定积分中每一项都必须带积分上、下限。
（六）关于无穷限积分
无穷限积分的处理方法是将其转化为有限区间积分的极限,计算时先求有限区间积分（即定积分）得到一个新变量的函数
b ?(b)??af(x)dx
??在令b→+∞,由lim?(b)的存在与否,确定
p????af(x)dx是否收敛.若收敛则积分值等于极限值。
三、典型例题
例1验证F(x)?系。
分析：依原函数的定义,若和F(x),G(x)的导数都是某个函数f(x)的原函数,即有
F'(x)?G'(x)?f(x),则F(x)和G(x)是f(x)的原函数。所以,只需验证F(x)和G(x)的导数是否为同
12(1?lnx)和G(x)?212lnx?lnx是同一个函数的原函数,并说明两个函数的关
2一个函数即可。
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