微积分初步
例5求微分方程y’+3y=e2x的通解。
分析：这是一阶线性非齐次微分方程，直接由通解公式求解。 解：因为P(x)=3,Q(x)=e由通解公式得通解为
2x
例6求微分方程y'?yx?2xsin2x?1,的通解。
分析：这是一阶线性非齐次微分方程，直接由通解公式求解。 解：因为P(x)??1x,Q(x)?2xsin2x
由通解公式得通解为
?注意：e?xdx1?e?lnx?eln1x?1x，e?xdx1?elnx?x
例7求微分方程xy’+y=xsinx的通解。
分析：这是一个一阶线性微分方程，但是在用通解公式求解之前，先要将方程标准化，即化为y’+P(x)y=Q(x)的形式。
解：将方程标准化
y'?yx?sinx
1x,Q(x)?sinx，则方程的通解为
此方程为一阶线性微分方程，且P(x)?
例8求微分方程
y'?yx?x?1满足初始条件y(1)?274的特解。
分析：这是一阶线性非齐次微分方程求特解的问题，先由通解公式求出方程的通解，再代入初始条件
y(1)?74，确定任意常数得到的特解。
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微积分初步
解：这是一阶线性非齐次微分方程，且P(x)?1x，Q(x)=x2+1，则方程的通解为
由初始条件y(1)?74，即y(1)?134?12?C1?74，得到C=1
故满足初始条件的特解为
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