微积分初步
（1）limx?2x?3x?6x?51?x?1sinx22
x?1（2）lim
x?0分析：解题之前先分清求极限函数的类型，再选择相应的方法求解。
（1）原式是个有理分式，且当x→1时，分子、分母的极限都为0，故不能直接用商的极限法则。同时我们还注意到，分式的分子、分母均为x的二次多项式，而当x→1时，分子、分母的极限都为0，说明分子、分母中均含有因式x-1，这时采取分解因式的方法，消去使分母极限为0的因式x-1（当x→1时），再用商的极限法则求出极限值。
（2）当x→1时，分子、分母的极限均为0，而且分子是一个无理函数，分母含有正弦函数，显然不能用分解因式消去0因子的方法。对于这类题目一般地，先将根式有理化，消去分式中的无理根式，又因为分母中含有正弦函数，运算时要用到第一个重要极限。
解：（1）limx?2x?3x?6x?522x?1?lim(x?1)(x?3)(x?1)(x?5)x?1?limx?3x?5x?1?4?4??1
（2）lim1?x?1sinxx?0?lim(1?x?1)(1?x?1)(1?x?1)sinxxsinxlim1(1?x?1)x?0?lim12x(1?x?1)sinx12
x?0?limx?0x?0?1??
求极限方法小结：
（1）运用极限的四则运算法则时，要特别注意除法法则。如果分母的极限为0，则一定不能直接使用除法法则，这时需要根据函数的特点，对函数进行适当的变形（常见的变形有，分解因式，有理化根式等），从而消去不定因子再用除法法则。
（2）应用重要极限求极限时，必须将求极限函数变形为重要极限的标准形式或扩展形式。
第一个重要极限的特点是：当x→0时，分式的分子、分母的极限均为0，且分子、分母中含有正弦函数的关系式.它的标准形式为limsinxx?1，扩展形式为limsin?(x)x?0?(x)?0?(x)?1。
1?xsin?1,?x?例6设函数f(x)??a,?sinx,?x?x?0x?0 x?0问：
（1）当a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在； （2）当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
分析：函数f(x)在点处是否连续，关键是看函数在该点处是否有limf(x)?f(x0)。
x?x0此函数是一个分段函数，且x=0是它的分段点.则在x=0处有极限存在是要看是否有
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x?0lim?f(x)?lim?f(x)。
x?0在x=0处连续是要看是否有limf(x)?limf(x)?f(0)。
x?0?x?0?解：
（1）因为limf(x)?lim(xsinx?0?1xx?0??b)?b
x?0lim?f(x)?lim?x?0sinxx?1
所以当b=1，a取任意值时，f(x)在x=0处有极限存在； （2）因为f(0)=a，所以当a=b=1时，f(x)在x=0处连续。
确定函数的连续性，关键是抓住连续性的定义，三条之一不满足者必间断。要记住连续性的有关结论，对于初等函数，定义区间即为连续区间，对于分段函数，要着重考察分段点处的连续性。
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第二讲导数与微分部分
一、教学内容与教学要求 二、学习重难点解析 三、典 型 例 题
一、教学内容与教学要求
（一）教学内容 1．导数
导数定义，导数的几何意义。 2．导数公式与求导法则
导数的基本公式，四则运算求导法则，复合函数求导法则，隐函数求导方法。 3．微分的定义与计算
4．高阶导数的概念及求法
（二）教学要求
1．了解导数概念，会求曲线的切线。
2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数。
3．了解微分的概念，掌握求微分的方法。
4．了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。
二、学习重难点解析
（一）关于导数的概念
函数的导数是一个增量之比的极限，即f'(x)?lim我们把
?y?x?y?x?x?0?limf(x??x)?x?y?x?x?0
?x?0称为函数的平均变化率，把lim?y?x?x?0称为变化率，若lim存在则可导，否则不可导。
导数是由极限定义的，故有左导数和右导数。在点x0处可导必有函数f(x)在点x0处左右导数都存在且相等。
（二）导数、微分和连续的关系
由微分的定义dy=f'(x)dx可知
（1）函数的可导与可微是等价的，即函数可导一定可微；反之可微一定可导。
（2）计算函数f(x)的微分dy，只要计算出函数的导数f'(x)再乘上自变量的微分dx即可；因此，我们可以将微分的计算与导数的计算归为同一类运算。
（3）由定理可知，连续是可导的必要条件，那么，函数可微也一定连续.反之不然，即连续函数不一定是可导或可微函数。
（三）导数的几何意义
由切线问题分析可知，函数f(x)在点x0处的导数就是曲线f(x)在点（x0,f(x)）处切线的斜率.于是，f(x)在点（x0,y0）处的切线方程为：
y-y0=f'(x0)(x-x0) （四）关于导数的计算
掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则.在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有：
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（1）导数的四则运算法则； （2）复合函数求导法则；
（3）隐函数求导方法。
对于上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件。
在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意解题的技巧。例如，y?1?xx，求y\|x?1。这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导数的除法法则求解，但是，
121如果将函数变形为y?x??x2再求导数就应该用导数的加法法则了。假如我们掌握了一些解题的技巧，
会使我们的运算变得简单还会减少错误。
复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过程的分解.由复合函数求导法则知，复合函数y?f(u),u??(x)的导数为y'x?f'(u)?'(x)
在求导时将y?f(?(x))分解为y?f(u),u??(x) (其中u为中间变量)，然后分别对中间变量和自变量求导再相乘。那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于y?f(u),u??(x)分别都要有导数公式或法则可求导。如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误。例如函数y?sin分别求导为，y'u?2u,u'v?cosv,v'x?有一种错误的分解是y?sin2u,u?12x2x，其分解为y?u,u?sinv,v?2x。于是
。相乘得到y'x?2sinx?cosx?12x?12x?sin2x。
x，这样在求导时会发现没有导数公式可以来求y'u。
隐函数的特点是变量y与x的函数关系隐藏在方程中，例如y=1+xsiny，其中的siny不但是y的函数，还是x的复合函数.所以对于siny求导数时应该用复合函数求导法则，先对y的函数siny求导得cosy，再乘以y对x的导数y'。由于y对x的函数关系不能直接写出来，故而只能把y对x的导数写为y'。
一般地说，隐函数求导数分为下列两步：
① 方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，求导后得到一个关于y'的一次方程； ② 解方程，求出y对x的导数y'。
总之，导数公式和求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并从中获得技巧。
三、典型例题 例1 求下列函数的导数或微分： (1)设y?x?3?log3x?33，求y'。 (2)设y?x?233xx2，求dy。
?3(3)设y?sinx1?cosx，求y'()。
分析：这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，求导或求微分时，需要用到导
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数基本公式和导数的四则运算法则。对于(1)先用导数的加法法则，再用导数基本公式；对于(2)，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到(2)中函数的特点，先将函数进行整理，y?x?231x2?x3?2x?23，
则可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后再乘以dx，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式。
解：（1）y'?(x3?3x?log3x?33)' ?(x)'?(3)'?(log3x)'?(33)'
?3x?3ln3??3x?3ln3?2x2x3x1xln31xln3?0
1?23（2）因为y?x?23x2?x3?2x
1所以y'?(x3)'?2(x?23)'?13x?23?43x?53，
于是dy?y'dx?(x31?23?43x?53)dx
（3）因为y'?(sinx)'(1?cosx)?sinx(1?cosx)'(1?cosx)2
?cosx(1?cosx)?sinx(?sinx)(1?cosx)2?cosx?cosx?sin(1?cosx)23222x?11?cosx
所以y'(?3)?11?cos|x??3?11?12?
在运用导数的四则运算法则应注意：
① 在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式；
p② 把根式
qxp写成幂次x的形式，这样便于使用公式且减少出错；
q③ 解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使用导数的除法法则。如例1中的(2)小题，将y?x?23x2变形为y?x?231x2?x3?2x?23后再求导数，这种解法比直接用除
法法则求解要简便且不易出错。
④导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同，运算也相对复杂得多，计算时要细心。
例2 求下列函数的导数或微分： (1) 设y?esin1x，求dy。
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