高中数学必修4教案
①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；? ②单位向量都相等；?
③任一向量与它的相反向量不相等；?
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；? ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相2．书本77页练习4题 三、小结 ：
2、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、共线向量与平行向量关系、相等向量。 四、课后作业： 《习案》作业十八。
同.
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结
合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 教学思路： 一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
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强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：AB?BC?AC （2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：AB?BC?AC （3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：AB?BC?AC （4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB?BC?AC
A B C
C A B A B
A B C
C
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ?AB?BC?AC， 规定： a + 0-= 0 + a
ｂ
A a ａa ｂ B
探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量； （2）当向量a与b不共线时， |a+b|<|a|+|b|；什么时候|a+b|=|a|+|b|，什么时候|a+b|=|a|－|b|，
当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|； 当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，
当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；
27 a C b b
a+b
a+b a
高中数学必修4教案
若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量a、b，求作向量a+b
b 作法：在平面内取一点，作OA?a AB?b，则OB?a?b. ４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中b+a的结果与a+b是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：a+b=b+a
５．你能证明：向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 吗？
6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例： 例二（P83—84）略
变式1、一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航
行速度的大小为4km/h，求水流的速度.
变式2、一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，
船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是60?，求v1和v2.
练习：P84面1、2、3、4题 四、小结
1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：《习案》作业十八。
六、备用习题 思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
a
O b a a A b
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
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1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化
的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：
一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：在四边形中，CB?BA?AD?CB?BA?AD?CA?AD?CD
. 解：
二、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 ?a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = ?b， b = ?a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b 3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a ? b ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作OA= a， AB= b 则BA= a ? b
b a
b
a?b O a B
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 注意：1?AB表示a ? b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
b
B
29 b a O B’
?b
a a+ (?b) b A 高中数学必修4教案
4． 探究：
１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b ? a. ２）若a∥b， 如何作出a ? b ？
b
三、 例题：
例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a?b、c?d.
解：在平面上取一点O，作OA= a， OB= b， OC= c， OD= d， 作BA， DC， 则BA= a?b， DC= c?d
a b
d c O 例二、平行四边形ABCD中，AB?a，AD?b， 用a、b表示向量AC、DB. 解：由平行四边形法则得： AC= a + b， DB= AB?AD = a?b 变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？（a， b互相垂直） 变式三：a+b与a?b可能是相等向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
例 3. 如图， 已知一点O到平行四边形 的三个顶点A、B、C的向量分别为 试用向量a、b、c表示OD.练习：1。Ｐ87面1、2题
2．在△ABC中， BC=a， CA=b，则AB等于( B )?
A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?
四：小结：向量减法的定义、作图法| 五：作业：《习案》作业十九
30 ABCDa、b、c，a b a a?b O B
A B’
O
a?b
A B
a?b
O
A
a?b
?b
B
B
O
A A B
D D C C
A B