高中数学必修4教案
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝
?2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?
（2）两向量共线的判定 （3）练习
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ）?
A.-3 B.-1 C.1 D.3
（4）力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角. 二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0.
?探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出
b=0.因为其中cos?有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c
a = c
如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共
线.
2．“投影”的概念：作图
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定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0； 当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|. 3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. 探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，
1、a?b ? a?b = 0
2、当a与b同向时，a?b = |a||b|； 当a与b反向时，a?b = ?|a||b|.
特别的a?a = |a|2或|a|?a?a |a?b| ≤ |a||b| cos? =
a?b|a||b|
探究：平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2．数乘结合律：(?a)?b =?(a?b) = a?(?b)
证：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?， ?(a?b) =?|a||b|cos?，a?(?b) =?|a||b|cos?，
若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???) = ??|a||b|(?cos?) =?|a||b|cos?，?(a?b)
=?|a||b|cos?，
a?(?b) =|a||?b|cos(???) = ??|a||b|(?cos?) =?|a||b|cos?.
3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作OA= a， AB= b，OC= c， ∵a + b （即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2
∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2， ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0
ａ＝ｂ
２
２
（3）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
三、讲解范例：
例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
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????例2．已知|a|=12， |b|=9，a?b??542，求a与b的夹角。
例3．已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|. （ 利用 |a|?a?a ）
例4．已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 四、课堂练习：
1．P106面1、2、3题。 2．下列叙述不正确的是（ ）
A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律 C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数 3．|a|=3，|b|=4，向量a+
34b与a-
34b的位置关系为（ ）
?3A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4．已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角. 五、小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义； 2．平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．向量垂直的条件. 六、作业：《习案》作业二十三。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或
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|a|?a?a
4?cos? =
a?b|a||b| ； 5?|a?b| ≤ |a||b|
3．练习：
（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为
?3，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.23 C.6 D.12
二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，怎样用a和b的坐标表示a?b？. 1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a?b?x1x2?y1y2 2. 平面内两点间的距离公式
（1）设a?(x,y)，则|a|2?x2?y2或|a|?x?y22.
（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，
那么|a|?(x1?x2)?(y1?y2)(平面内两点间的距离公式)
223． 向量垂直的判定
设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b ?x1x2?y1y2?0 4． 两向量夹角的余弦（0????）
cos? =
a?b|a|?|b|?x1x2?y1y2x1?y122x2?y222
二、讲解范例：
例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o) 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
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例3 已知a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１），则a与b的夹角是多少? 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１）
有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２2．
a?ba?b22记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝? 又∵０≤θ≤π，∴θ＝
?4
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 三、课堂练习：1、P107面1、2、3题
2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-四、小结： 1、a?b?x1x2?y1y2
2、平面内两点间的距离公式 |a|?3、向量垂直的判定：
设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b ?x1x2?y1y2?0
五、课后作业：《习案》作业二十四。 思考：
1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求点B和向量AB的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则OB= (x， y)，AB= (x?5， y?2)
OB?AB ∴∵x(x?5) + y(y?2) = 0即：x + y ?5x ? 2y = 0
2
2
12)在线段AB的中垂线上，则x= . (x1?x2)?(y1?y2)
22又∵|OB| = |AB| ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2即：10x + 4y = 29
?73?x?x???x?y?5x?2y?0?2?122 由???或?37?10x?4y?29?y1???y2??22??22∴B点坐标(,?2732)或(373773,)；AB=(?,?)或(?,) 222222 40