高中数学必修4教案
平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解
决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa （1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0 2．运算定律
?????????结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb ????3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.
?????????二、讲解新课：
1．思考：（1）给定平面内两个向量e1，e2，请你作出向量3e1+2e2，e1-2e2，
（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示？
平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2. 2．探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量
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3．讲解范例：
例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2 例2
如图， OA、 OB 不共线,且 AP?t AB (t?R), 用 OA，OB 表示 OP .P O B A 本题实质是 已知O、A、B三点不共线，
若点 P 在直线 AB 上，则 OP?mOA?nOB, 且 m?n?1.4．练习1：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( D )
A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知向量a ＝ e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c ＝6e1-2e2的关系（Ｂ ） A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线．
(填共线或不共线).
???????5．向量的夹角:已知两个非零向量a、b，作OA?a，OB?b，则∠AOB＝?，叫向量a、
??????????，a、b同向，当=180°，a、b反向，当=90°，a与b垂直，b的夹角，当=0°
记作a⊥b。 6．平面向量的坐标表示
（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一
个向量，如何表示呢？
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基
底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得1 a?xi?yj????○
2 我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x,y)????○
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2式叫做向量的坐标表示.与其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○．a相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA?a，则点A的位置由a唯一确定. 设OA?xi?yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也
就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 7．讲解范例：
例2．教材P96面的例2。 8．课堂练习：P100面第3题。 三、小结：（1）平面向量基本定理； （2）平面向量的坐标的概念； 四、课后作业：《习案》作业二十一
2．3．3平面向量的坐标运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
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(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标运算
?????思考1：已知：a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，你能得出a?b、a?b、?a的坐标吗？
?设基底为i、j，则a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j 即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2) （1） 若a?(x1,y1)a?b?(x1?x2,y1?y2)
，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. （2）若a?(x,y)和实数?，则?a?(?x,?y).
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 ?思考2：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎样求AB的坐标？
（3） 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?
AB=OB?OA=( x2， y2) ? (x1，y1)= (x2? x1， y2? y1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 思考3：你能标出坐标为(x2? x1， y2? y1)的P点吗？
向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。 三、讲解范例：
????????例1 已知a=(2，1)， b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.
例2 已知平面上三点的坐标分别为A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使
这四点构成平行四边形四个顶点.
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解：当平行四边形为ABCD时，由AB?DC得D1=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(?6， 0) 例3已知三个力F1 (3， 4)， F2(2， ?5)， F3(x， y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.
解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3， 4)+ (2， ?5)+(x， y)=(0， 0)
?3?2?x?0?4?5?y?0?x??5?y?1即：? ∴? ∴F3(?5，1)
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 MP?12MN， 求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB?2BC= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结：平面向量的坐标运算； 六、课后作业：《习案》作业二十
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
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