精品题库试题
理数
1. (2014四川,8,5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sin α的取值范围是( )
A.[答案] 1.B
B. C. D.
[解析] 1.由正方体的性质易求得sin∠C1OA1=,sin∠COA1=,注意到∠C1OA1是锐
角,∠COA1是钝角,且>.故sin α的取值范围是.
2. (2014江西,10,5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i-1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i=2,3,4),L1=AE,将线段L1,L2,L3,L4竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )
[答案] 2.C
[解析] 2.由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处.在坐标平面xAy中,直线
AE1的方程为y=x,与直线DC的方程y=7联立得F.由两点间的距离公式得
E1F=,∵tan∠E2E1F=tan∠EAE1=,∴E2F=E1F·tan∠E2E1F=4.∴E2F1=12-4=8.∴=
===.故选C.
3.(2014课标全国卷Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[答案] 3.C
[解析] 3.解法一:取BC的中点Q,连结QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ即为所求, 设BC=CA=CC1=2,
则AQ=,AN=,QN=,
∴cos∠ANQ=故选C.
===,
解法二:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),
∴=(-1,0,-2),=(1,-1,-2),
∴cos<,>====,故选C.
4. (2014广西桂林中学高三2月月考，10) 已知正三棱柱2
，高为4．则底面
的中心
到平面
的距离为（ ）
的底面是边长为
(A) (B) (C) (D)
[答案] 4. D [解析] 4.
如图，依题意，是等腰三角形，且，延长交于，取
的中点，连结，则，过作平面，垂足为，则点在
的角平分线上，又因为是等边三角形，，
所以，，由勾股定理可得，
易证～，所以，即，所以.
故底面的中心到平面的距离为.
5.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，15) 用一个边长为的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为 .
[答案] 5.
[解析] 5. 由题意可知蛋槽的高为，且折起三个小三角形顶点构成边长为的等边三角形
，所以球心到面的距离，∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距
离为
6. (2014大纲全国,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC
上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2. (Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;
(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1-AB-C的大小.
[答案] 6.查看解析
[解析] 6.解法一:(Ⅰ)因为A1D⊥平面ABC,A1D?平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC. 又BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1C.(3分) 连结A1C.因为侧面AA1C1C为菱形,故AC1⊥A1C. 由三垂线定理得AC1⊥A1B.(5分)
(Ⅱ)BC⊥平面AA1C1C,BC?平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1. 作A1E⊥CC1,E为垂足,则A1E⊥平面BCC1B1.
又直线AA1∥平面BCC1B1,因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,A1E=.
因为A1C为∠ACC1的平分线,故A1D=A1E=.(8分)
作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB, 故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角.
由AD==1得D为AC中点,
DF=×=,tan∠A1FD==.
所以二面角A1-AB-C的大小为arctan.(12分)
解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长,建立如图所示的空间