设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),
则即
令z=1,则y=-1.所以n=(0,-1,1). 设直线BC与平面ABF所成角为α,
则sin α=|cos
因此直线BC与平面ABF所成角的大小为设点H的坐标为(u,v,w).
.
因为点H在棱PC上,所以可设即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2). 所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.
=λ(0<λ<1),
因为n是平面ABF的法向量,所以n·即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0.
=0,
解得λ=,所以点H的坐标为.
所以PH==2.
19.(2014课标全国卷Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.
[答案] 19.查看解析
[解析] 19.(Ⅰ)连结BD交AC于点O,连结EO. 因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点. 又E为PD的中点,所以EO∥PB.
又EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC.
(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,
则D(0,,0),E,=.
设B(m,0,0)(m>0),则C(m,,0),=(m,,0).
设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则即
可取n1=.
又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设|cos
因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为.
三棱锥E-ACD的体积V=××××=.
20.(2014课表全国Ⅰ，19，12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C. (Ⅰ)证明:AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.
[答案] 20.查看解析
[解析] 20.(Ⅰ)连结BC1,交B1C于点O,连结AO.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点.
又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.由于AO?平面ABO,故B1C⊥AO.又B1O=CO,故AC=AB1. (Ⅱ)因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.
又因为AB=BC,所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直.
以O为坐标原点,O-xyz.
的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又AB=BC,则
A,B(1,0,0),B1,C.
=,==
[来源学科网],
==.
设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,
则即
所以可取n=(1,,).
设m是平面A1B1C1的法向量,则
同理可取m=(1,-,).
则cos
所以二面角A-A1B1-C1的余弦值为.
21.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，19）（原创）如图，在四面体平面在线段
，上，且
，
。
，
。
是
的中点，
是
中，的中点，点
(1) 证明: 平面；
(2) 若异面直线
的值。
与所成的角为，二面角的大小为，求
[答案] 21.查看解析
[解析] 21. 法一：(1) 如图，连于
，则平面
，，故
平面
并延长交。故
；
于，连，过作
平面
交
，
，从而。因