因此在等腰Rt△AOC中,AC=作BR⊥AC于R.
.
在△ABC中,AB=BC,所以BR==.
因为在平面ABC内,NQ⊥AC,BR⊥AC,所以NQ∥BR. 又因为N为AB的中点,所以Q为AR的中点,
因此NQ==.
同理,可得MQ=,
所以在等腰△MNQ中,cos∠MNQ===.
故二面角A-NP-M的余弦值是解法二:
由俯视图及(Ⅰ)可知,AO⊥平面BCD.
.
因为OC,OB?平面BCD,所以AO⊥OC,AO⊥OB. 又OC⊥OB,所以直线OA,OB,OC两两垂直.
如图,以O为坐标原点,以Oxyz.
,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系
则A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0).
因为M,N分别为线段AD,AB的中点, 又由(Ⅰ)知,P为线段BC的中点,
所以M,
N,P.
于是=(1,0,-),=(-1,,0),
=(1,0,0),=.
设平面ABC的一个法向量n1=(x1,y1,z1),
则即
有 从而
取z1=1,则x1=,y1=1,所以n1=(,1,1).
设平面MNP的一个法向量n2=(x2,y2,z2),
则即
有
取z2=1,所以n2=(0,1,1). 设二面角A-NP-M的大小为θ,
从而
则cos θ===.
故二面角A-NP-M的余弦值是.
9. (2014广东,18,13分)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E. (1)证明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D-AF-E的余弦值.
[答案] 9.查看解析
[解析] 9.(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD, 又CD⊥AD,PD∩CD=D, ∴AD⊥平面PCD,∴AD⊥PC, 又AF⊥PC,AF∩AD=A,
∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF.
(2)解法一:设AB=1,则Rt△PDC中,CD=1,∵∠DPC=30°,
∴PC=2,PD=,由(1)知CF⊥DF,
∴DF=,
∴CF=,又FE∥CD,
∴==,∴DE=,同理EF=CD=,
如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),
E,F,P(,0,0),C(0,1,0).
设m=(x,y,z)是平面AEF的法向量,
则又
∴
令x=4,得z=,故m=(4,0,),
由(1)知平面ADF的一个法向量为锐角,
=(-,1,0),设二面角D-AF-E的平面角为θ,可知θ为
cos θ=|cos >|===,故二面角D-AF-E的余弦值为. ∵CF⊥平面ADF,∴CF⊥DF. ∴在△CFD中,DF=∵CD⊥AD,CD⊥PD, , ∴CD⊥平面ADE.又∵EF∥CD, ∴EF⊥平面ADE.∴EF⊥AE, ∴在△DEF中,DE=,EF=, 在△ADE中,AE=, 在△ADF中,AF=. 由VA-DEF=·S△ADE·EF=·S△ADF·hE-ADF,