在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC, 又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而BD⊥AB. 由于AC⊥平面BCDE,得AC⊥CD.
在Rt△ACD中,由DC=2,AC=,得AD=.
在Rt△AED中,由ED=1,AD=,得AE=.
在Rt△ABD中,由BD=,AB=2,AD=,得BF=,AF=AD.从而GF=.
在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=,BC=.
在△BFG中,cos∠BFG==.
所以,∠BFG=,即二面角B-AD-E的大小是.
解法二:以D为原点,分别以射线DE,DC为x轴,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.
由题意知各点坐标如下:D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2,),B(1,1,0).
设平面ADE的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABD的法向量为n=(x2,y2,z2),可算得
=(0,-2,-),
=(1,-2,-),
=(1,1,0),
由即可取m=(0,1,-).
由即可取n=(1,-1,).
于是|cos
由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B-AD-E的大小是.
15.(2014山东,17,12分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点. (Ⅰ)求证:C1M∥平面A1ADD1;
(Ⅱ)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=弦值.
,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余
[答案] 15.查看解析
[解析] 15.(Ⅰ)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,
且AB=2CD,所以AB∥DC,又由M是AB的中点,因此CD∥MA且CD=MA.
连结AD1,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 因为CD∥C1D1,CD=C1D1, 可得C1D1∥MA,C1D1=MA,
所以四边形AMC1D1为平行四边形.
因此C1M∥D1A,又C1M?平面A1ADD1,D1A?平面A1ADD1, 所以C1M∥平面A1ADD1.
(Ⅱ)解法一:连结AC,MC,由(Ⅰ)知CD∥AM且CD=AM,所以四边形AMCD为平行四边形.
可得BC=AD=MC,
由题意∠ABC=∠DAB=60°,所以△MBC为正三角形,
因此AB=2BC=2,CA=因此CA⊥CB.
,
以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
所以A(
,0,0),B(0,1,0),D1(0,0,),
因此M,
所以=,==.
设平面C1D1M的法向量n=(x,y,z),
由得
可得平面C1D1M的一个法向量n=(1,,1).
又=(0,0,)为平面ABCD的一个法向量.
因此cos<,n>==.
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
解法二:由(Ⅰ)知平面D1C1M∩平面ABCD=AB,过C向AB引垂线交AB于N,连结D1N. 由CD1⊥平面ABCD,可得D1N⊥AB,因此∠D1NC为二面角C1-AB-C的平面角. 在Rt△BNC中,BC=1,∠NBC=60°,
可得CN=.
所以ND1==.
在Rt△D1CN中,cos∠D1NC===.
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
16.(2014辽宁,19,12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.
(Ⅰ)求证:EF⊥BC;
(Ⅱ)求二面角E-BF-C的正弦值. [答案] 16.查看解析
[解析] 16.(Ⅰ)证法一:过E作EO⊥BC,垂足为O,连OF.
由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC.
所以∠EOC=∠FOC=即FO⊥BC.
,
又EO⊥BC,因此BC⊥面EFO. 又EF?面EFO,所以EF⊥BC.