直角坐标系C-xyz.由题设知A1D与z轴平行,z轴在平面AA1C1C内.
(Ⅰ)设A1(a,0,c),由题设有a≤2,A(2,0,0),B(0,1,0),则
=(-2,1,0),分)
=(-2,0,0),
=(a-2,0,c),
=
+
=(a-4,0,c),
=(a,-1,c).(2
由||=2得=2,
即a2-4a+c2=0.①
于是·
=a2-4a+c2=0,所以AC1⊥A1B.(5分)
(Ⅱ)设平面BCC1B1的法向量为m=(x,y,z),
则m⊥,m⊥,即m·=0,m·=0.
因=(0,1,0),==(a-2,0,c),
故y=0,且(a-2)x+cz=0.
令x=c,则z=2-a,m=(c,0,2-a),点A到平面BCC1B1的距离为
||·|cos
又依题设,A到平面BCC1B1的距离为代入①解得a=3(舍去)或a=1.(8分)
,所以c=.
于是=(-1,0,).
设平面ABA1的法向量为n=(p,q,r),
则n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0,
-p+r=0,且-2p+q=0.
令p=,则q=2,r=1,n=(,2,1).
又p=(0,0,1)为平面ABC的法向量,
故cos
所以二面角A1-AB-C的大小为arccos.(12分)
7. (2014重庆,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面
ABCD,AB=2,∠BAD=(Ⅰ)求PO的长;
,M为BC上一点,且BM=,MP⊥AP.
(Ⅱ)求二面角A-PM-C的正弦值.
[答案] 7.查看解析
[解析] 7.(Ⅰ)如图,连结AC,BD,因为ABCD为菱形,则AC∩BD=O,且AC⊥BD.以O为坐标原点,
,
,
的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.
因为∠BAD=,故OA=AB·cos=,OB=AB·sin=1,
所以O(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),=(0,1,0),=(-,-1,0).
由BM=,BC=2知,==,
从而=+=,即M.
设P(0,0,a),a>0,则=(-,0,a),=.
因为MP⊥AP,故·=0,即-+a2=0,所以a=或a=-(舍去),即PO=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=,=,=.
设平面APM的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PMC的法向量为n2=(x2,y2,z2),
由n1·=0,n1·=0,得
故可取n1=,
由n2·=0,n2·=0,
得
故可取n2=(1,-,-2),
从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为
cos
故所求二面角A-PM-C的正弦值为.
8. (2014四川,18,12分)三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP. (Ⅰ)证明:P是线段BC的中点; (Ⅱ)求二面角A-NP-M的余弦值.
[答案] 8.查看解析
[解析] 8.(Ⅰ)如图,取BD中点O,连结AO,CO.
由侧视图及俯视图知,△ABD,△BCD为正三角形, 因此AO⊥BD,OC⊥BD.
因为AO,OC?平面AOC内,且AO∩OC=O, 所以BD⊥平面AOC.
又因为AC?平面AOC,所以BD⊥AC. 取BO的中点H,连结NH,PH. 又M,N分别为线段AD,AB的中点, 所以NH∥AO,MN∥BD. 因为AO⊥BD,所以NH⊥BD. 因为MN⊥NP,所以NP⊥BD.
因为NH,NP?平面NHP,且NH∩NP=N, 所以BD⊥平面NHP.
又因为HP?平面NHP,所以BD⊥HP.
又OC⊥BD,HP?平面BCD,OC?平面BCD,所以HP∥OC. 因为H为BO中点,故P为BC中点. (Ⅱ)解法一:
如图,作NQ⊥AC于Q,连结MQ. 由(Ⅰ)知,NP∥AC,所以NQ⊥NP.
因为MN⊥NP,所以∠MNQ为二面角A-NP-M的一个平面角.
由(Ⅰ)知,△ABD,△BCD是边长为2的正三角形,所以AO=OC=由俯视图可知,AO⊥平面BCD. 因为OC?平面BCD,所以AO⊥OC.
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