故cos∠C1HO1===.
即二面角C1-OB1-D的余弦值为.
解法二:因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD是菱形,因此AC⊥BD,又由(Ⅰ)知O1O⊥底面ABCD,从而OB、OC、OO1两两垂直. 如图,以O为坐标原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设AB=2,因为∠CBA=60°,所以OB=
,OC=1,
于是相关各点的坐标为O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2).
易知,n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量. 设n2=(x,y,z)是平面OB1C1的法向量,
则即
取z=-,则x=2,y=2
,所以n2=(2,2,-),
设二面角C1-OB1-D的大小为θ,易知θ是锐角,
于是cos θ=|cos
故二面角C1-OB1-D的余弦值为.
13.(2014安徽,20,13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q. (Ⅰ)证明:Q为BB1的中点;
(Ⅱ)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;
(Ⅲ)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.
[答案] 13.查看解析
[解析] 13.(Ⅰ)证明:因为BQ∥AA1,BC∥AD,BC∩BQ=B,AD∩AA1=A, 所以平面QBC∥平面A1AD.
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行,即QC∥A1D. 故△QBC与△A1AD的对应边相互平行,于是△QBC∽△A1AD.
所以===
,即Q为BB1的中点.
图1
(Ⅱ)如图1,连结QA,QD.设AA1=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面α所分成上下两部分的
体积分别为V上和V下,BC=a,则AD=2a.
=×·2a·h·d=ahd,
VQ-ABCD=··d·h=ahd,
所以V下=
+VQ-ABCD=ahd,
又=ahd,
所以V上=-V下
=ahd-ahd
=ahd,
故=.
(Ⅲ)解法一:如图1,在△ADC中,作AE⊥DC,垂足为E,连结A1E. 又DE⊥AA1,且AA1∩AE=A, 所以DE⊥平面AEA1,于是DE⊥A1E.
所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角. 因为BC∥AD,AD=2BC,所以S△ADC=2S△BCA.
又因为梯形ABCD的面积为6,DC=2,所以S△ADC=4,AE=4.
于是tan∠AEA1==1,∠AEA1=.
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为.
图2
解法二:如图2,以D为原点,设∠CDA=θ.
,的方向分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.
因为S四边形ABCD=·2sin θ=6,所以a=.
从而C(2cos θ,2sin θ,0),A1,
所以=(2cos θ,2sin θ,0),=.
设平面A1DC的一个法向量为n=(x,y,1),
由
所以n=(-sin θ,cos θ,1).
得x=-sin θ,y=cos θ,
又因为平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),
所以cos
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为.
14.(2014浙江,20,15分)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=(Ⅰ)证明:DE⊥平面ACD; (Ⅱ)求二面角B-AD-E的大小.
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[答案] 14.查看解析
[解析] 14.(Ⅰ)在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得
BD=BC=,
由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE, 所以AC⊥DE.又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD.
(Ⅱ)解法一:作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AE交于点G,连结BG, 由(Ⅰ)知DE⊥AD,则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角.