解得hE-ADF=,
设△AEF的边AF上的高为h,
由S△AEF=·EF·AE=·AF·h,
解得h=×,
设二面角D-AF-E的平面角为θ.
则sin θ==××=,
∴cos θ=.
10. (2014福建,17,13分)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿
BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图. (Ⅰ)求证:AB⊥CD;
(Ⅱ)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
[答案] 10.查看解析
[解析] 10.(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,AB⊥BD, ∴AB⊥平面BCD.
又CD?平面BCD,∴AB⊥CD.
(Ⅱ)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.
由(Ⅰ)知AB⊥平面BCD,BE?平面BCD,BD?平面BCD, ∴AB⊥BE,AB⊥BD.
以B为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M,
则=(1,1,0),=,=(0,1,-1).
设平面MBC的法向量为n=(x0,y0,z0),
则即
取z0=1,得平面MBC的一个法向量为n=(1,-1,1). 设直线AD与平面MBC所成角为θ,
则sin θ=|cos
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.
11. (2014江西,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证:AB⊥PD;
(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,问AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?并求此时平面
BPC与平面DPC夹角的余弦值.
[答案] 11.查看解析
[解析] 11.(1)证明:ABCD为矩形,故AB⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以AB⊥平面PAD,故AB⊥PD.
(2)过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连结PG.
故PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥PG.
在Rt△BPC中,PG=,GC=,BG=.
设AB=m,则OP==,故四棱锥P-ABCD的体积
V=··m·=.
因为m==,
故当m=,即AB=时,四棱锥P-ABCD的体积最大.
此时,建立如图所示的坐标系,各点的坐标为
O(0,0,0),B,C,D,P.
故=,=(0,,0),=.
设平面BPC的法向量为n1=(x,y,1),则由n1⊥x=1,y=0,n1=(1,0,1).
,n1⊥得解得
同理可求出平面DPC的法向量为n2=.
从而平面BPC与平面DPC夹角θ的余弦值为cos θ===.
12. (2014湖南,19,12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (Ⅰ)证明:O1O⊥底面ABCD;
(Ⅱ)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.
[答案] 12.查看解析
[解析] 12.(Ⅰ)因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC. 同理DD1⊥BD,
因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD,而AC∩BD=O, 因此CC1⊥底面ABCD.
由题设知,O1O∥C1C,故O1O⊥底面ABCD,
(Ⅱ)解法一:如图,过O1作O1H⊥OB1于H,连结HC1. 由(Ⅰ)知,O1O⊥底面ABCD,所以O1O⊥底面A1B1C1D1, 于是O1O⊥A1C1.
又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等, 所以四边形A1B1C1D1是菱形,
因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1, 所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1,
进而OB1⊥C1H,故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角,
不妨设AB=2,因为∠CBA=60°,所以OB=
,OC=1,OB1=.
在Rt△OO1B1中,易知O1H==2,而O1C1=1,于是
C1H===.