证法二:由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图2所示空间直角坐标系,易得
B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),因而E,F,所
以,=,=(0,2,0),因此·=0.
从而⊥,所以EF⊥BC.
图2
(Ⅱ)解法一:在图1中,过O作OG⊥BF,垂足为G,连EG.由平面ABC⊥平面BDC,从而EO⊥面BDC,又OG⊥BF,由三垂线定理知EG⊥BF. 因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角.
在△EOC中,EO=EC=BC·cos 30°=,
由△BGO∽△BFC知,OG=·FC=,
因此tan∠EGO==2,从而sin∠EGO=,即二面角E-BF-C的正弦值为.
解法二:在图2中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1). 设平面BEF的法向量为n2=(x,y,z),
又=,=,
由
得其中一个n2=(1,-,1).
设二面角E-BF-C的大小为θ,且由题意知θ为锐角,则
cos θ=|cos
因此sin θ==,即所求二面角的正弦值为.
17.(2014天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面
ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点. (Ⅰ)证明BE⊥DC;
(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
[答案] 17.查看解析 [解析] 17.解法一:
依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
(Ⅰ)证明:向量=(0,1,1),=(2,0,0),故·=0.
所以BE⊥DC.
(Ⅱ)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,
则有
即不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.于是
cos
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(Ⅲ)向量
=λ
=(1,2,0),,0≤λ≤1.
=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).由点F在棱PC上,设
故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF⊥AC,得·=0,因
此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=.即=
.设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,
则即
不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),则
cos
易知,二面角F-AB-P是锐角,所以其余弦值为解法二:
.
(Ⅰ)证明:如图,取PD的中点M,连结EM,AM.
由于E,M分别为PC,PD的中点,故EM∥DC,且EM=四边形ABEM为平行四边形,所以BE∥AM. 因为PA⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,
DC,又由已知,可得EM∥AB且EM=AB,故
从而CD⊥平面PAD,因为AM?平面PAD,于是CD⊥AM,又BE∥AM,所以BE⊥CD.
(Ⅱ)连结BM,由(Ⅰ)有CD⊥平面PAD,得CD⊥PD,而EM∥CD,故PD⊥EM.又因为AD=AP,M为PD的中点,故PD⊥AM,可得PD⊥BE,所以PD⊥平面BEM,故平面BEM⊥平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM,而BE⊥EM,可得∠EBM为锐角,故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角.
依题意,有PD=2,而M为PD的中点,可得AM=,进而BE=.故在直角三角形BEM
中,tan∠EBM===,因此sin∠EBM=.
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(Ⅲ)如图,在△PAC中,过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD,故FH⊥底面ABCD,从而FH⊥AC.又BF⊥AC,得AC⊥平面FHB,因此AC⊥BH.在底面ABCD内,可得CH=3HA,从而CF=3FP.在平面PDC内,作FG∥DC交PD于点G,于是DG=3GP.由于DC∥AB,故GF∥AB,所以A,B,F,G四点共面.由AB⊥PA,AB⊥AD,得AB⊥平面PAD,故AB⊥AG.所以∠PAG为二面角F-AB-P的平面角.
在△PAG中,PA=2,PG=PD=,∠APG=45°,由余弦定理可得AG=,cos∠PAG=.
所以二面角F-AB-P的余弦值为.
18.(2014北京,17,14分)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H. (Ⅰ)求证:AB∥FG;
(Ⅱ)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.
[答案] 18.查看解析
[解析] 18.(Ⅰ)在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以AB∥DE. 又因为AB?平面PDE, 所以AB∥平面PDE.
因为AB?平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG, 所以AB∥FG.
(Ⅱ)因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.
如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),=(1,1,0).