第五章 三角函数
考点1 任意角的三角函数 考点精析
1.理解正角、负角、零角的概念；理解弧度制的意义，能进行角度与弧度的换算 2.理解和任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义 3.掌握三角函数值的符号：掌握特殊角的正弦、余弦、正切的值 考题回顾〔河南考题〕
1.（2008年）第一象限角总小于90°（ ） 解答：3
2.〔2007年〕当0＜x＜解答：√
3.〔2006年〕若cosx=A.[
4m?63π2时，sinx＜x（ ）
，则m的取值范围是（ ）
39393939,] B. [,] C. （,） D.（,） 44884488解答：A 备考指导
一、知识清单
1.角的概念的推广 （1）“正角”与“负角”、“零角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角，记法：角?或??可以简记成?.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负，就数零无正负一样.
（2）象限角
为了研究方便，我们往往在平面直有坐标系中来讨论角.角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） （3）终边相同的角
所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合：
360?，k?Z?即：S＝??????k·任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和.
注意以下四点：
①k∈Z；
②?是任意角；
③k2360°与?之间是“+”号，如k2360°-30°，应看成k2360°（-30°）； ④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍. 2.弧度制
（1）弧度制的定义
1
长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角.它的单位是rad读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. （2）角度制与弧度制的换算：
∵360°＝2πrad ∴180°＝πrad
1°=
π180rad≈0.01745rad
??180?1 rad???≈57.30°=57°18′
?π?（3）一些特殊角的度数与弧度数的对应值： 角度 弧度 角度 弧度 （4）①弧长公式：l=r2a
②s?12lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径.
0° 0 210° 7?630° ?645° ?460° ?33?290° ?2120° 2?37?4135° 3?4150° 5?6180° ? 720° 3? 225° 5?4240° 4?3270° 300° 5?3315° 330° 11?6360° 2? 3.任意角的三角函数
（1）任意角的三角函数定义
设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y）,则P与原点的距离r=
比值比值比值
xyrxry2?y2?x?y＞0
yrxry22叫做?的正弦 记作sin?=叫做?的余弦 记作cos?=叫做?的正切 记作tan?=
xx比值
xyrx叫做?的余切 记作cot?=
xyrx
比值叫做?的正割 记作sec?=
比值
ry叫做?的余割 记作csc?=
ry
根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角?，上述六个比值都不会随P
?点在?的终边上的位置的改变而改变.当角?的终边在纵轴上时，即??k??(k?Z)2时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan?、sec?无意义；当角?的终边在横轴
2
上时，即?＝kπ（k∈Z）时，终边上任意一点P的纵坐标y都为0，所以cot?、csc?无意义；除此之外，对于确定的角?，上面的六个比值都是惟一确定的实数，，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.
注意： ①以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.
②OP是角?的终边，至于是转了几圈，按什么地方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角?是任意的.
③sin?是个整体符号，不能认为是“sin”与“?”的积.其余五个符号也是这样. ④定义中只说怎样的比值叫做?的什么函数，并没有说?的终边在什么位置（终边在坐标轴上的除外），即函数定义与?的终边位置无关.
⑤比值只与角的大小有关.
（3）三角函数的定义域 函数 sin? 定义域 {a|a?R} {a|a?R} {a|a?值域 [?1,1] [?1,1] {y|y?R} {y|y?R} (??,?1]?[1,??) (??,?1]?[1,??) cos? tan? cot? ?2?k?,k?Z} {a|a?k?,k?Z} {a|a?sec? csc? ?2?k?,k?Z} {a|a?k?,k?Z} （4）三角函数值在各象限内的符号规律 根据三角函数的定义可知，由于r＞0，所以三角函数值的符号，只与a终边上一点p(x,y)的坐标x，y的符号有关，因此，三角函数在四个象限内的符号可依照如下两表帮助理解和记忆.
?所在象限 ?的三角函数 sin? cos? tan? cot? 一 + + + + 二 + - - - 三 - - + + 四 - + - -
说明：
①seca与cosa的符号一致，cosa与sina符号一致 ②由角所在的象限能确定三角函数值的符号，反之由三角函数值的符号也能确定角所在的象限.
3
③以上三角函数值的符号可从任意角的三角函数的定义得到，也可以各象限取“+”号为标准用顺口溜的形式帮助记忆三角函数的符号.即“一齐全，二正弦，三两切，四余弦”，即第一象限内所有角的三角a函数全为正的，第二象限只有正弦为正，第三象限正切，余切是正的，第四象限只有余弦取正。 二、典型例题
【例1】下列命题正解的是（ ）
A.终边相同的角一定相等 B.第一象限角都是锐角 C.锐角都是第一象限角 D.小于90°的角锐角 【解答】C.
【评述】考查角的基本概念，注意区分锐角，小于90°的角，第一象限角.
方法一：根据各种角的定义，利用排除法解答，要想否定一个命题，只需举出一个反例即可. 对于A，-60°与300°是终边相同的角，但它们并不相等，应排除A选项. 对于B，390°是第一象限角，可它不是锐角，∴应排除B选项. 对于D，-60°是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除D选项. 综上，可知选C选项.
方法二：利用定义直接判断
∵锐角的集合是??0?＜?＜90??①?xk贩360?＜a＜90??k360?，k?Z?② ∴对于②当k＝0时②与①相同
∴锐角一定是第一象限角 选择C
【例2】在0°到360°内找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. （1）120° （2）640° （3）-950°12′ 【解答】（1）∵-120°＝-360°+240° ∴在0°到360内与-120°终边相同的角为240°，其为第三象限角。
（2）∵640°＝360°+240°∴在0°到360°内与640°终边相同的角为280°，其为第四象限角.
（3）∵-950°12′＝-1080°+129°48′∴在0°到360°内与-950°12′终边相同的角为129°48′，其为第二象限角.
【评述】本题考题终边相同的角的表示方法??ak2360°（k∈Z），其中?在0°到360°内即可.
【例3】求终边落在直线y= - x的角的集合.
【解答】在0°～360°范围内满足条件的角为135°和315°， ∴终边直线y=x的角的集合是
????k?60??135?，k?Z?∪?aa?k ·360??315?，k?Z?
＝????2k ?80??135?，k?Z?∪????(2k?1) ?80??135?，k?Z? ＝?a??n ?0??135?，n?Z?
【评述】考查终边相同的角的集合的表述方法，利用相同的方法，可以求出终边为y=x的角的集合，即?a??n180??45?，n?Z?，可得出终边为y=?x的角的集合，即
?a?
?n90??45?，n?Z?.
4
【例4】若?为第一象限角，那么
?2是第几象限角？
【解答】依题意得k2360°＜?＜k2360°+90°，k∈Z
?∴k2180°＜＜k2180°+45°，k∈Z
2①若k为偶数，不妨设k＝2n，n∈Z，则n2360°＜此时，
?2?2＜n2360°+45°n∈Z
的终边落在第一象限，且位于第一象限角平分线与x轴非负半轴所围成的区域内，
不包括边界.
②若k为奇数，不妨设k＝2n+1，n∈Z，则n2360°+180°＜此时，
?2?2＜n2360°+225°k∈Z
的终边落在第三象限，且位于第三象限角平分线与x轴非正半轴所围成的区域内，
不包括边界.
【评述】在本例题的基础上，可以进一步推导出各个象限角的半角范围，借助图示来记忆.图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、第二、第三、第四象限角的半角范围，如：当x为第二象限角时，
?2为第一、第三象限角的后半区域.
?6【例5】若角?的终边与角【解答】设角
?6的终边关于直线y=x对称，且x∈（-4π，4π），则?= .
的终边为OA，OA关于直线y=x对称的射线为OB，则以OB为终边的角
??的集合为终边的角的集合为????2k??∵?∈（-4π，4π）∴-4π＜2k???3??,k?Z?. 3?＜ 4π，k∈Z
11?3,?5?3,∴k＝-2，-1，0，1时为所求，即?＝??3,7?3
说明：弧度制下的有关记忆法和结论.
（1）终边相同的角：2kπ+? （k∈Z），前后单位要一致. （2）象限角：第一象限角的集合=??2k?＜?＜2k?，k?Z?；
??第二象限角的集合=??2k????＜?＜2k???，k?Z? ； 2?3??，k?Z?； 2?第三象限角的集合=??2k???＜?＜2k???3??第四象限角的集合=??2k?????＜?＜2k??2?，k?Z?. 2?（3）坐标轴上的角：
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