A.m∈(-∞，-C.m∈[?5353]∪[
15，+∞) B.m∈[
51,] 3515，+∞)
，+∞) D. m∈[?【解答】∵3sin??cos??2?3?m?31sin??cos??22?????2sin(??) ?6?3?m2m?1?2
∴要使3sin??cos??解之得m≥
152m?1有意义，当且仅当?2?或m≤?53，所以选A.
【评述】本题考查两角和公式应用中的基本方法——构造辅助角，具体解题过程中，要注意方法的选择，如：平时训练时，应让学生们动笔去解不等式?2?3?m2m?1?2，同时，也应
告诉深长们在构造辅助角后，借助排队法去选定选项，将m＝0代入得2sin?????????3不
2?成立，可排除C、D将x＝-2代入得2sin???????2?35?＝?53＜2适合，故又可排除B选项.
【例8】已知sin(???)??35,sin(???)?，且???????3??,2?? ,??，??????2??2???求cos2?的值
【解答】cos2?＝cos[(???)－(???)]＝cos(???) cos(???)+ sin(???) sin(???)
?3?3?,2??，sin(???)??
5?2?45因为?????所以cos(???)＝
??
又因为?????3?,2??，sin(???)＝
5?2?45所以cos(???)＝－
45
??34??3??????3＝－1
55??5?2从而可得cos2??3??【例9】已知tan?2tan?是方程6x?5x?1?0的两个根，且0＜?＜
?2，0＜?＜
3?2，
26
则?+?的值为（ ） A.
?4 B.
3?4 C.
5?4 D. k???4(k?Z) 56【解答】由根与系数的关系，得tan?+tan?=
5, tan?2tan?=
16
∵tan（?+?）＝
tan??tan?1?tan?tan?3?2?61?16?1
又∵0＜?＜
?2 0＜?＜ ∴π＜?+?＜2π ∴?+?＝
5?4，选C.
【评述】本题实质是给值求角的问题，解这类问题要注意，根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确是所求角的恰当的范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角.解此类题目常犯的错误是对角的范围不加讨论. 【例10】化简：（1）
2cos???2tan????4??2???sin??????4???的和为
2（2）(tan10??3)cos10?sin50?
【分析】（1）涉及的角
?4??与
?4?2，即它们互余，因此可考虑将切化弦后再
进行化简，另外由分式的结构特征，再利用约分，可达到化简的目的. 【解答】（1）原式＝
22cos??1?2??sin????????4?cos?????4??sin?????4???2?2cos??1??2sin????cos?????4??4?????2
＝
cos2??sin2?????4????cos2??sin2??2???2????cos2?cos2??1
（2）方法一：（tan10°－3）
?sin10??cos10?sin60??cos10? ?cos60??sin50?cos10?cos10?＝（tan10??tan60?）
sin50?sin50?＝?－＝
（sin10?cos60??cos10?sin60?）cos10?cos10?cos60?sin50?sin(?50?)cos10?1＝?＝?2 ＝
cos10?cos60?sin50?cos60?
方法二：（tan10°-3）
cos10?sin50?＝（sin10?cos10??cos10?3） sin50? 27
＝＝sin10??3cos10?cos10?sin50?cos10?＝
?1?32?sin10??cos10???2?2??sin50?
（2sin10?cos60??cos10?sin60?）2sin(?50?)＝-2. ＝sin50?sin50?cos10?cos10? ＝（tan10??tan60?）sin50?sin50?cos10?sin50?方法三：（tan10°－3）
＝tan（-50°）（1-tan10°tan60°）
＝?sin50?cos50?
cos10?cos50?cos10?cos60?sin50?＝?1cos60?＝?2
【评述】在公式应用过程中，要观察角的特点，如（1）中??????????与????， ?4??4?（2）中10°，60°，50°之间的联系，要观察函数名称的变化规律；要观察代数式的结构特征.观察（2）题特点，为达到化简目的将3变为tan60°，将特殊值化为某角的三角函数值，这种“以退为进”的策略，在别的题目中也常有应用，如
tan45??tan15?1?tan45?tan15?1?tan15?1?tan15?
33可将1视为tan45°，有【例11】已知sin??【解答】∵sin??3535＝tan（45°-15°）＝tan30°＝.
，??(?235925?2,?)求sin2?，cos2?，tan2?的值.
45 ??(,?) ∴cos????（??72545）＝?2425 tan???34
∴sin2?=2sin?cos??2?cos2?＝1?2sin2
??1?2?24
tan2?＝
sin2?cos2??25??24
7725?2＝?3?16＝?24?
?9277??16?33?2?（?）??2tan?4?＝?或tan2??231?tan?2?1?（?）1??4?【例12】求下列各式的值. （1）
1sin10??3cos10? （2）?cos???12?sin????sin??cos?
12??1212???? 28
（3）
12?cos2?8； （4）tan67.5°-tan22.5°
13cos10?cos10??3sin10?【解答】（1）
sin10???sin10?cos10?
＝（2sin30?cos10??cos30?sin10?）1（2sin10?cos10?）2
=
2sin(30??10?)12??cos2?8＝4
（2）?cos?12?sin????sin??cos?
12??1212????＝cos2?12?sin2?12?cos?6?32.
（3）
12?cos2?8＝
121?cos?2?4??cos2??4??24.
（4）tan67.5°-tan22.5°＝
?sin67.5?sin22.5?cos67.5?cos22.5?sin67.5?cos22.5?－cos67.5?sin22.5?cos67.5?cos22.5?
＝sin（67.5??22.5?）sin45?＝＝2 1sin22.5?cos22.5?sin45?2【评述】在解题过程中，要注意根据问题的具体特点，适当加以变动，配凑出使用公式的形式，然后利用公式解决，“切化弦”，“引入辅助角”，“二倍角公式的升幂运算”是化简求值问题中的常用方法，为化简或求值方便，如下这些式子应熟悉： sinx + cosx =2sin?x?????? sinx + cosx =
4????2sin?x??
4??sinx+3cosx?2sin?x??????????? sinx－3cosx?2sin?x?? 3?3??? sinx－3cosx?2sin?x???sinx+3cosx?2sin?x???3????
3????3sinx?cosx?2sin?x??
6??2???3sinx?cosx?2sin?x??.
6??22升幂公式：1+cos2??2cos? 1－2??2sin?，(1?sin2?)?(sin??cos?)
29
【例13】4sin
?8cos???cos8?2?8?sin2???? . 8?【解答】4sin
?2?8cos???cos8?2?8?sin2??????? cos?cos??2?2sin8?88?4??2sincos?2?sin?2?1
【评述】本题考查二倍角公式正向、逆向的使用. 【例14】已知sin【解答】∵sin?1?1224x?cos44x?582，求cos4x.
x?cos2x?5824x?cos2x?(sin12sinx)?2sin22xcos2x
(2sinxcosx)2x?34?1?2
∴sin
21?3?∴cos4x=1?2sin22x?1?2????
8?4?【例15】（1）设m为实数，且tan?和tan?是方程：的两个实数根，求tan（?+?）的最小值.
（2）求函数y=sinx cosx + sinx + cosx的最大值. 【解答】（1）由韦达定理，得tan?+tan?＝－
??1?2m?33m??m? m?22m22m?3m，tan?2tan?＝
m?2m
∴tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?∵方程有两个实数根m≠0 ∴△＝(2m?3)?4m(m?2)?0 解之得m≤
94且m≠0 ∴m的最大值为
3494 ∵tan(???)??m?32
∴tan(???)的最小值为－.
u?12
2
（2）由于y=sinx cosx + sinx + cosx，不妨令sinx + cosx＝u，则sinx2 cosx=
所以y=
u?12
(u22
+u（其中-2≤u≤2）
122∵y?12?2u?1)?1?(u?1)?1
30