又∵f(u)=2sinu+1在u∈??????6??2?2k?,???2k??（k∈Z）为增函数，此时 2?x∈???2k??2k??3????；在u∈（k∈Z）为减函数，此时 ,??2k?,?2k????363?2?2?x∈
2k??2k????. ?,??6?323?????62k??2k??（k∈Z）为增函数， ,??363?∴y=asin3x + 1在x∈???在x∈
2k??2k????（k∈Z）为减函数. ?,??6?323?????62k??2k??，减区间为 ,??363?即函数y=2sin3x+1的增区间为???2k??2k????（k∈Z）. ?,??6?323??（2）令u=∵u=
?6?6?2x，则f(u)?3cosu?13
?2x 在x∈R为减函数.
13又f(u)?3cosu???在u∈[-π+2kπ，2kπ]（k∈Z）为减函数，
7??；在u∈[2kπ，2kπ+π] （k∈Z）为减函数，此时 12??此时x∈??k????5?12?12,?k??x∈??k????,?k????12??.
∴y=3cos??7???1?为减函数， ,?k???2x??在x∈??k???1212???6?35?12??,?k??在x∈??k????（k∈Z）为增函数. ?12???即函数y=3cos??7???1?,?k???2x??的减区间为??k???， 121263????5?12,?k??增区间为??k???
?（k∈Z） ?12?36
??
【评述】本题考查复合函数的单调性，在解题过程中要考虑先化简再求单调区间，如（2）y=3cos????1?2x??. ?6?3???1?2x??后再求单调区间，这样运算最小，难度减小，?6?3可先通过诱导公式化为y=3cos?可以学生自己求.
【例3】求下列各函数的最小正周期 （1）y?cos4x?sin4x
（2）y = sinx + cosx （3）y = sinxcosx （4）y?tanx2
4【解答】（1）函数式可以化为y?cos4x?sin?(cosx?sin22x
2x)(cos2x?sin2x)?cosx?sin2x?cos2x，
所以函数的最小正周期是T＝
2???2?2??
（2）函数式可以化为y = sinx + cosx＝2??2?2sinx?cosx? ?2?2???????2?sinxcosxcosxsinx??44??2?????2sin?x??
4??2?112所以函数的最小正周期是T＝
??2?
12（3）函数式可以化为y = sinxcosx?2?2?1?2sinxcosx?sin2x
所以函数的最小正周期是T＝
x2??2???
（4）y?tan的最小正周期是
?12??2?
【评述】由本例可知函数周期的变换仅与自变量的系数有关，
一般地，函数y?Asin(?x??)（其中A，?,?为常数A≠0）的周期为T =
2??，函数
37
y?Atan(?x??)的周期为T =
2??
【例4】求函数y?sinx的定义域
【解答】函数定义域由sinx≥0确定，
观察正弦函数图象可得2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z 则所求函数定义域是?x2k??x???2k?,k?Z? 【例5】求函数y?tan(x??3)的定义域
【解答】因为函数y=tanx的定义域是x?x??2?k?，所以x??3??2?k?x，得到
?2?k???3，即x???5?6?k?
所以，函数的定义域是?xx?R且x?k??【例6】若
?25??,k?Z? 6?＜a＜?，并且sina＝5-4m，则m的取值范围
【解答】因为解得1＜m＜
?2＜a＜?，由正弦函数的性质可知0＜sina＜1，即0＜5-4m＜1，
54
32?2cosx?cos2x的最大、最小值
32?2cosx?2(cos2【例7】求函数y?【解答】因为y?232?2cosx?cos2x?52x?1)
??2cosx?2cosx?
2?=?2?cos?21?1??x?cosx????3?2?cosx???3
44?2??1又 ?1?cosx?1
1??当cosx?时?cos??最小值为0，所以函数y的最大值为3
22??931??当cosx = -1时?cos??，最大值为，所以函数y的最小值为?
422??212【例8】求函数y?sin的集合 【解答】y?sin
22x?2sinxcosx?3cos2x的最值，并写出函数y取得最值时的x
x?2sinxcosx?3cos2x
38
= sin2x?2sinxcosx?cos22x?2cos2x
2= sinx?cos2x?2sinxcosx?2cosx
= sin2x + cos2x+2
?=2sin(2x?)?2
4又-1≤sin?2x???????1 4?5?8(k?Z)时，有最小值为2?当sin ?2x???????4??＝ -1即x?k??2
当sin ?2x???5?(k?Z)时，y有最大值为2??＝1即x?k??84?2
因此函数y有最小值2 -2，x的集合为?xx?k???5??5??k?Z? 8?函数y有最大值2 +2，x的集合为?xx?k?????k?Z? 8?【例9】函数f(x)?4sin?2x??????的一条对称轴方程为（ ）
3?A.x??3 B. x??6 C. x??12 D.x＝0
2????????23 ??4sin??0f???4sin363????【解答】将选项中的值分别代入函数，得f??????f(0)?4sin?23.由于正弦曲线的对称轴必经过图像的最高点f??4sin?4,?32?12?或最低点，且与y轴平行，即是将x值代入后，y取得最大或是最小值，因此选择C. 【评述】观察正弦曲线、余弦曲线、正切曲线，有以下这些一般的对称性. 【例10】求函数y?sinx?3cosx的周期，定义域，值域，单调增区间.
【解答】∵y?sinx??1?3???3cosx=2?sinx?cosx??2sin?x??
?2?23????∴T?2?????2?，x∈R 有sin?x??∈[-2，2]. 13?? 39
令u?x??3，则f(u)=2sinu.
??∵f(u)在u∈???3?2?2k?,???2k??上为增函数. 2?∴x?∈?????2?2k?,???2k??即 2?3cosx为增函数.
x∈?????6?2k?,5???2k??（k∈Z）上 y?sinx?6?故而函数y?sinx????63cosx的定义域为R，值域为[-2，2]，
单调增区间为???2k?,5??，周期为2π. ?2k??（k∈Z）
6???【例11】指出将y=sinx的图像变换为y?sin?2x????的图像的两种方法.
3?【分析】一种方法是先周期，后相位；另一种方法是先相位，后周期. 【解答】方法一：y=sinx y=sin2x y?si?n2?x??????????????si?n2x?? 6??3??方法二：y=sinx y?sin?x????????? y?si?n2x?? 3?3??【评述】在图像变换过程，应把握住左右平移，横向伸缩都是对x自身的变换，如由y=sin2x得到y?sin?2x????????若直接向左移到个单位，则其针对2x平移，而在括号内加是对
363?x自身的变换.
【例12】下图是函数y?Asin(?x??)?2的图像的一部分，它的振幅、周期、初相各是（ ） A.A＝3，T＝C. A＝1，T?4?32?3，????6 B. A＝1，T＝ D. A＝1，T＝
4?34?312，???，???3?4
，???3?4?6
【解答】由图知，ymax＝3，ymin?1，故而A＝∵
T2?5?6?(ymax?ymin)?1
32?6?2?3. ∴T?4?3 ∵
2???4?3 ∴??
∴y?sin?
?3?x????2 ?2?40