公式三：sin(-a)=－sina
cos(-a)=cosa tan(-a)=－tana
它说明角－a与角a的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等.这是因为，若设a的终边与单位圆交于点P（x，y），则－a的终边与单位圆的交点必为P'（x,-y）.由正弦函数、余弦函数的定义，即可得
sina=y，cosa=x，
sin（-a）= -y，cos(-a)=x，
所以：sin（-a）= - sina, cos（-a）= cosa
公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义.根据点P的坐标准确地确定点P'的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质，事实上，在图1中，点P'与点P关于原点对称，而在图2中，点P'与点P关于x轴对称，直观的对称形象为我们准确写出P'的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性. 公式四： 用弧度制可写成 sin(180°-a)＝sina sin(π-a)＝sina cos(180°-a)＝-cosa cos(π-a)＝-cosa tan(180°-a)＝-tana tan(π-a)＝-tana 公式五： 用弧度制可写成 sin(360°-a)=－sina sin(2π-a)＝-sina cos(360°-a)＝cosa cos(2π-a)＝cosa tan(360°-a)＝-tana tan(2π-a)＝-tana
这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想，公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的.
公式六： 用弧度制可表示如下： sin(90°-a)＝cosa sin???????＝cosa ?2???????＝sina ?2?cos(90°-a)＝sina cos?tan(90°-a)＝cota tan???????＝cot a ?2?公式七： 用弧度制可表示如下： sin(90°+a)＝cosa sin???????＝cosa ?2???????＝-sina ?2?cos(90°+a)＝-sina cos?
11
tan(90°+a)＝-cota tan???????＝-cot a ?2?说明：诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限.
，-?，180°±?，360°－?的三角函数值，等于?的同名函数值，?+k2360°（k∈Z）
前面加上一个把?看成锐角时原函数的符号；90°±?，270°±?的三角函数值，等于?的相应余函数值，面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号，奇变偶不变，指90°的奇数倍，90°的偶数倍；“把?看成锐角”是指?原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理. 二、典型例题 【例1】填空题：
（1）sin23??cos2( )?1； （2）（3）?cos2sin4?cos4??tan( )；
?2?( )； （4）tan?2cos?＝（ ）.
【解答】考查同角三角函数基本关系式，考查对“同角”的理解，例如：3?与3?是同角， ?2与
2?2是同角，???与???也是同角；考查同角三角函数基本关系式的变式，如：
22222sin??1?cos?，cos??1?sin?，1?sin??cos?，tan?2cos?＝sin?，tan??1cot?，cot??1tan?.
8【例2】（1）若已知cot???17，求sin?,tan?，cot?的值；
（2）若已知cot?＝-3，求tan?，sin?和cos?的值. 【解答】（1）由cot???2817及sin2??cos2??1
2217?8?8?得sin??1?????217?17?2?25?9172
∴sin?＝?∵cos?＝?1517
＜0 ∴角?为第二或第三象限的角.
1517817若角?为第二象限角，则sin?=
15.
151817??,cot???? 8cos?8tan?15?1715若角?为第三象限角，则sin?=－.
17∴tan??sin?? 12
∴tan??sin?cos????15151817?,cot??? 88tan?15171517158故而，?为第二象限角时，即，sin?=.，tan?＝－
158，cot?＝?8815.
?为第三象限角时，sin?=－
1517，tan?＝，cot?＝
115?.
1?3（2）∵cot?＝-3且tan?2 cot?＝1 ∴tan??∵tan?=－＜0 ∴角?是第二或第四象限角
31cot?
若?是第二象限角，由于cot?＝
cos?sin???3，得cos?＝-3 sin?
110又因sin2??cos2??10sin2?1 ∴sin??2，则sin??1010
∵cos?＝-3sin? 又因 ∴cos?＝?31010.
若?是第三象限角，则sin?＝?1010，cos?＝?310101010.
所以，?是第二象限角时，tan?＝－
13，sin?＝?，cos?＝?31010；
?是第三象限角时，有tan?＝－
13，sin?＝?1010，cos?＝?31010.
【评述】若已知正弦、余弦、正切或余切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外三角函数时，可按角所在象限分别讨论，进行运算，这时有两组结果.
【例3】已知tan?＝2，求值：
2sin??3cos?2（1） （2）sin??2sin?cos??1
3sin??2cos?2nis??3soc?2tan??3【解答】（1）：＝
3nis??2soc?3tan??2又∵tan?＝2 ∴原式＝
2?2?33?2?2＝274
（2）sin??2sin?cos??1＝
2sin??2sin?cos?1?1
?sin??2sin?cos?sin??cos?222?1
13
?tan??2tan?tan??122?1
又∵tan?＝2 ∴原式＝
2?2?22?122?1＝135
cos?sin?12【评述】在已知tan?的值，若其变式，如：sin?=2 cos?，sin?－2 cos?＝0，等条件，求形如可利用tan?＝
msin??ncos?asin??bcos?cos?sin??（其中a，b，m，n均为实数，且a2b≠0）式子的值时，
mtan??natan??b将上式转化为进而求值；
2而针对形如asin2??bsin?cos??c ·cos?的式子，可将其分母为1的分式，运用
1＝sin2??cos2?这一关系式，将其转化为关于tan?的关系式后求值. 【例4】（1）已知sin?cos?＝
14，且
?4＜?＜?2，求sin?－cos?的值：
（2）已知sinθ+cosθ＝2，所以tanθ+cotθ的值. 【解答】（1）因为所以
sin?－cos? ＝(sin??cos?)2?1422sin??2sin?cos??cos? ??4＜?＜?2，所以sin?＞cos?即sin?－cos?＞0.
1?2sin?cos?
由于sin?cos?＝· ＝，所以sin?－cos?＝1?2 4122
（2）因为sinθ+cosθ＝
sin?cos??122，所以（sin??cos?）?1?2sin?cos??2，即
2
sin?cos?112因为tan??cot???cos?sin??sin??cos?sin?cos?22?1sin?cos?
所以tan??cot???2
【评述】解题过程中要注意问题的已知条件和结论，进而联想相关公式，由
sin??cos??1，
22可得到(sin??cos?)?2sin?cos??1，(sin??cos?)?2sin?cos??1，
22 14
· cos?，sin?－cos?三者知换言之由sin2??cos2??1搭桥，sin??cos?，sin? 其一，即可求基余两式，当然，在求值过程中勿忘讨论角的范围，以便确定符号.
【例5】化简下列各式： （1）1?sin2400?； （2）
1?2sin10?cos10?sin10??1?sin10?2
【解答】（1）1?sin2（360??40?） 400?＝cos400?＝cos400?＝cos2＝cos40?＝cos40?；
1?2sin10?cos10?sin10??1?sin10??（sin10??cos10?）sin10??cos10?22（2）＝
sin10??cos10??2sin10?cos10?sin10??＝22222cos10?2
＝sin10??cos10?sin10??cos10?cos10??sin10?sin10??cos10?＝-1
【评述】本题考查化简二次根式，应力求将开方式化完全平方式，从二次根号下移出来，同时要注意确定移出式的符号，化简实际上是一种不指定答案的恒等变动，对化简的一般要求是：
①项数要最少；②次数要最低；③函数种类要最少；④分母不含根号；⑤尽量不含根式；⑥能求值的要求值. 【例6】求证：
cosx1?sinx?1?sinxcosx
【分析】就证明三角恒等式成立的一般情况而言，可以考虑从左边推到右边，也可以考虑从右边推到左边，一般本着化繁为简的原则；可以将左边、右边同时推向一个式子，利用该式子搭桥证明等式成立；有时可从某已知条件，公式等出发，推导出结论，不论采用何种方式，都要做到“紧盯目标，据果变形”. 【证明】证法一：左边?右边 ∵左边＝
cosx1?sinx?cosx(1?sinx)(1?sinx)(1?sinx)1?sinxcosx?右边
?cosx(1?sinx)1?sin2x
?cosx(1?sinx)cosx2?∴等式成立
证法二：右边?左边 ∵右边＝
1?sinxcosx2?(1?sinx)(1?sinx)cosx(1?sinx)cosx1?sinx?1?sin2xcosx(1?sinx)
?cosxcosx(1?sinx)??左边
∴等式成立
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